Какие параметры есть у Wishart-Wishart posterior?

12

При выводе матрицы точности Λ нормального распределения, используемой для создания N D-мерных векторов, x1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
мы обычно помещаем приоритет Wishart перед Λ так как распределение Wishart является сопряженным предшествующим для исключение многомерного нормального распределения с известным средним и неизвестной дисперсией:
ΛW(υ,Λ0)
где υ - степени свободы, а Λ0 -масштабная матрица . Чтобы добавить надежность и гибкость модели, мы установили гиперприор над параметрами Wishart. Например, Гёрюр и Расмуссен предлагают:
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
где G - это гамма-распределение.

Вопрос:

чтобы отобрать апостериор p ( Λ 0 | X , Λ , υ , D , Λ x ) W ( Λ | υ , Λ 0 ) W ( Λ 0 | D , 1Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

что такое семья и параметры этого апостериора?

PS:

Отбрасывая все факторы, которые не зависят от Λ0 и отождествляя параметры с параметрами Wihsart, я получаю Wishart с параметрами:

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

это выглядит довольно хорошо, но я совсем не уверен, так как я не нахожу никаких примеров ни в книгах, ни в Интернете.

Ошибка :

Гёрур и Расмуссен предлагают эти гиперприоры над параметрами Вишарта, но это уравнение:

ΛW(υ,Λ0)

должно быть вместо:

ΛW(υ,Λ01)

поэтому решаем проблему отсутствия сопряженности. Если мы хотим сохранить тогда мы должны использовать Обратный Вишарт как предыдущий (см. Ответ @ Xi'an)Λ0

альберто
источник

Ответы:

5

Произведение двух плотностей в приводит к

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

которая не является стандартной плотностью. Чтобы сохранить сопряженность сортов, правый иерархический предшествующий должен быть чем-то вроде Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).
Сиань
источник
1
Спасибо за подсказку @ Xi'an! На самом деле параметр в вероятности должен быть (моя ошибка, см. Правку). Я только что опубликовал ответ, используя это и сохраняя Wishart * Wishart. Λ01
Альберто
6

Хорошо, благодаря ответу @ Xi'an, я мог сделать весь вывод. Я напишу это для общего случая: где является ключом к сопряженности. Если мы хотим использовать то это должно быть:

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)
S1S
W(W|υ,S)×IW(S|υ0,S0)

Я делаю первый случай (пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

где мы использовали тот факт, что . По результатам проверки мы видим, что это дистрибутив Wishart: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

Расширение для розыгрышейNW1...WN :

Для случая, когда у нас есть матриц точности, вероятность становится продуктом вероятностей, и мы получаем:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
альберто
источник