Генерация значений из многомерного гауссовского распределения

В настоящее время я пытаюсь моделировать значений $N$ - мерной случайной величины $X$ , который имеет многомерное нормальное распределение со средним вектором $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ и ковариационной матрицей $S$ .

Я надеюсь использовать методику , аналогичную методу обратной CDF, а это означает , что я хочу , чтобы сначала создать - мерный равномерная случайная величина U , а затем подключить , что в обратной КОР этого распределения, так , чтобы генерировать значение X .$N$$U$$X$

У меня возникли проблемы, потому что процедура плохо документирована, и есть небольшие различия между функцией mvnrnd в MATLAB и описанием, которое я нашел в Википедии .

В моем случае я также выбираю параметры распределения случайным образом. В частности, я генерирую каждое из средств из равномерного распределения U ( 20 , 40 ) . Затем я строю ковариационную матрицу S, используя следующую процедуру:$\mu_i$$U(20,40)$$S$

1. Создайте нижнюю треугольную матрицу где L ( i , i ) = 1 для i = 1 .. N и L ( i , j ) = U ( - 1 , 1 ) для i < $L$$L(i,i) = 1$$i=1..N$$L(i,j) = U(-1,1)$$i < j$

2. Пусть , где L Т обозначает транспонирование L .$S = LL^T$$L^T$$L$

Эта процедура позволяет мне гарантировать, что является симметричным и положительно определенным. Он также предоставляет нижнюю треугольную матрицу L, так что S = L L T , что, я считаю, необходимо для генерации значений из распределения.$S$$L$$S = LL^T$

Используя рекомендации по Википедии, я должен быть в состоянии генерировать значения используя N- мерную форму следующим образом:$X$$N$

• $X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

Однако в соответствии с функцией MATLAB это обычно делается следующим образом:

• $X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Там , где является обратным ВПР из N - мерного, разъемные, нормального распределения, и единственное различие между обоими методами, просто использовать ли L или L T .$\Phi^{-1}$$N$$L$$L^T$

MATLAB или Wikipedia - это путь? Или оба не правы?

Если - вектор-столбец стандартных нормальных RV, то если вы установите Y = L X , ковариация$X \sim \mathcal{N}(0,I)$$Y = L X$ является L L T . $Y$$L L^T$

Я думаю, что проблема, с которой вы столкнулись , может возникнуть из-за того, что функция mvnrnd в matlab возвращает векторы строк в качестве выборок, даже если вы указали среднее значение в качестве вектора столбца. например,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

И обратите внимание, что преобразование вектора строки дает вам противоположную формулу. если является вектором строки, то Z = X L T также является вектором строки, поэтому Z T = L X T является вектором столбца, и ковариация Z T может быть записана как E [ Z T$X$$Z = X L^T$$Z^T = L X^T$$Z^T$ , $E[Z^TZ] = LL^T$

Исходя из того, что вы написали , хотя, формула Википедии верна: если были вектор строка , возвращаемая MATLAB, вы не можете левой умножить его на L T . (Но умножение вправо на L T даст вам выборку с той же ковариацией $\Phi^{-1}(U)$$L^T$$L^T$ ).$LL^T$