Есть ли нормализованные эквиваленты асимметрии и куртоза?

10

Что будет нормализованным эквивалентом асимметрии, которая будет иметь ту же единицу, что и данные? Точно так же, что было бы нормализованным эквивалентом Kurtosis? В идеале эти функции должны быть линейными по отношению к данным, а это означает, что если бы все наблюдения были умножены на коэффициент n, результирующая нормализованная асимметрия и эксцесс были бы умножены на один и тот же коэффициент n. Преимущество наличия таких нормализованных эквивалентов состояло бы в том, чтобы иметь возможность накладывать их поверх стандартного графика типа «усы и усы».

Исмаэль Галими
источник
Какой интересный вопрос!
Алексис
Я не уверен, насколько полезно было бы проиллюстрировать это на графиках. Причина, по которой мы иллюстрируем стандартные отклонения, заключается в том, что они дают естественную меру разброса данных (если они обычно распределяются): 65% наблюдений находятся внутри интервала. Я не думаю, что есть такие естественные визуальные интерпретации для третьего и четвертого моментов.
Бен Кун
2
Что вы пытаетесь показать о ваших данных? Если это определенное качественное поведение дистрибутива, может ли быть предпочтительным сюжет для скрипки ? Но да, в любом случае, это забавный вопрос.
Бен Кун
Можно почувствовать асимметрию и эксцесс, взглянув на гистограмму, показывающую распределение набора данных, но это даст очень субъективное восприятие этих мер. Я хотел бы изобразить их в двух линейных масштабах, один для асимметрии, параллельной оси графика «усы и усы», другой ортогональный к нему. Это может быть изображено как отдельная коробка, наложенная поверх основной коробки. Чем выше это поле, тем больше искажены данные. Чем шире, тем острее (высокий куртоз).
Исмаэль Галими
И спасибо за ссылку на виолончельный сюжет. Это действительно умно.
Исмаэль Галими

Ответы:

10

Меры по асимметрии намеренно не имеют единиц .

Обычная асимметрия моментов - это стандартизированный третий момент, .Е[(Икс-μσ)3]

Если вы но не стандартизируете, у вас есть ... что явно в кубических единицах .μ3знак равноЕ[(Икс-μ)3]

Если вы хотите что-то в тех же единицах, что и , вам нужно взять корень куба, так же, как мы берем квадратный корень из дисперсии и получаем что-то в тех же единицах исходных данных. (Однако, будьте осторожны, поскольку многие пакеты не будут принимать кубические корни отрицательных чисел, вам, возможно, придется вычислить его как: )Иксподписать(Икс-μ)×|Е(Икс-μ)3|1/3

Я не уверен, насколько это будет полезно.

Для некоторых других мер асимметрии, таких как две меры асимметрии Пирсона, вы просто умножаете на .σ

Для выборочных мер асимметрии, где и как правило, неизвестны, как и для выборочной асимметрии, вы обычно заменяете их собственными выборочными оценками.σμ

Куртоз следует по той же схеме - для моментального куртоза вам нужно будет взять четвертые корни нестандартного четвертого момента, чтобы получить что-то, что масштабируется с данными.

Для некоторых других мер эксцесса их нужно только умножить на .σ

Glen_b - Восстановить Монику
источник
10

Асимметрия и эксцесс являются характеристиками формы. Так что, если я скажу вам, что вещь, шар, круглая, это не должно иметь значения, каков радиус этой вещи. Это может быть маленький шар или большой шар . С другой стороны, когда я говорю маленький шарик или большой куб, я имею в виду размер объекта, а не форму.

В связи с этим стандартное отклонение - это размер распределения, поэтому асимметрия и эксцесс нормализуются по размеру. Можно также сказать, что стандартное отклонение принадлежит механике, а асимметрия и эксцесс - геометрии. Поэтому нет, нам не нужно иметь их в единицах измерения переменной. Размер и форма отдельно. Большой и маленький шарики одинаково круглые , т.е. размер в данном случае не имеет значения :)

Аксакал
источник
1

рM2знак равнорИксИксT|dИкс|M2знак равнопΛ2пT

Икс'знак равноΛ-1пTИкс
M2

M2яJ'знак равнор(Λ-1пTИкс)(Λ-1пTИкс)T|dИкс|
знак равноΛ-1пT(рИксИксT|dИкс|)пΛ-1
знак равноΛ-1пTпΛ2пTпΛ-1знак равноя

Геометрическим значением второго момента является «ориентация», что оправдывается тем, что диагонализация нормализует второй момент. Когда асимметрия рассчитывается в соответствии с этой нормировкой, она называется асимметричностью Мардиа .

Han JaeSeung СтудентКиото
источник