Я знаю, что этот вопрос задавался со средним регистром = медианой, но я не нашел ничего, связанного со средним = модой.
Если мода равна среднему значению, могу ли я всегда заключить, что это симметричное распределение? Буду ли я вынужден знать также медиану для этого способа?
Ответы:
Среднее = мода не подразумевает симметрию.
Даже если среднее значение = медиана = мода, вы все равно не обязательно будете иметь симметрию.
И в ожидании потенциального продолжения - даже если среднее значение = медиана = мода и третий центральный момент равен нулю (таким образом, асимметрия моментов равна 0), вы все равно не обязательно будете иметь симметрию.
... но было продолжение этого. NickT спросил в комментариях, достаточно ли иметь все нечетные моменты ноль, чтобы требовать симметрии. Ответ на это тоже нет. [Смотрите обсуждение в конце. ]†
Все эти различные вещи подразумеваются симметрией (при условии, что соответствующие моменты конечны), но смысл не идет другим путем - несмотря на то, что многие элементарные тексты ясно говорят об одном или нескольких из них иначе.
Контрпримеры довольно тривиальны для построения.
Рассмотрим следующее дискретное распределение:
Оно имеет среднее значение, медиану, моду и третий центральный момент (и, следовательно, асимметрию моментов) все 0, но оно асимметрично.
Этот пример также может быть сделан с чисто непрерывным распределением. Например, вот плотность с такими же свойствами:
Это смесь симметричных треугольных плотностей (каждая с диапазоном 2) со средними значениями при -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 и весами смесей 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 0,08, 0,20 соответственно. Тот факт, что я только что сделал это сейчас - никогда раньше не видел - наводит на мысль, насколько просто построить эти случаи.
[Я выбрал треугольные компоненты смеси для того, чтобы мода была визуально однозначной - можно было бы использовать более плавное распределение.]
Вот еще один отдельный пример для ответа на вопросы Хон Ооя о том, насколько далеки от симметрии эти условия. Это ни в коем случае не ограничивающий случай, это просто иллюстрация того, как просто сделать менее симметрично выглядящий пример:
Пик в 0 может быть сделан относительно выше или ниже без изменения условий; аналогично, точка вправо может быть размещена еще дальше (с уменьшением вероятности) без значительного изменения относительных высот на 1 и -2 (т. е. их относительная вероятность останется близкой к соотношению 2: 1 при перемещении вправо). стих о).
Более подробно об ответе на вопрос NickT
источник
Попробуйте этот набор чисел:
Я бы не назвал это распределение симметричным.
источник
Нет.
Пусть - дискретная случайная величина с , и . Очевидно, что не является симметричным, но его среднее значение и мода равны 0.p ( X = - 2 ) = 1X р(х=0)=1p(X=−2)=16 р(х=1)=1p(X=0)=12 хp(X=1)=13 X
источник
Чтобы повторить ответ, который я дал в другом месте , но подходит и здесь:
который не только имеет среднее значение, медиану и моду все равны, но также имеет нулевую асимметрию. Возможны многие другие версии.
источник