Я рассчитываю аналитически рассчитать распределение вероятностей точек выборки из осциллирующей функции, когда есть некоторая ошибка измерения. Я уже рассчитал распределение вероятностей для части «без шума» (я поставлю это в конце), но я не могу понять, как включить «шум».
Численная оценка
Чтобы быть более понятным, представьте, что есть некоторая функция которой вы случайным образом выбираете точки в течение одного цикла; если вы укажете точки в гистограмме, вы получите что-то, связанное с распределением.
Без шума
Например, вот и соответствующая гистограмма
С шумом
Теперь, если есть какая-то ошибка измерения, тогда она изменит форму гистограммы (и, следовательно, я думаю, что основное распределение). Например
Аналитический расчет
Надеюсь, я убедил вас, что между ними есть какая-то разница, а сейчас я напишу, как я рассчитал случай «без шума»:
Без шума
Тогда, если времена, в которые мы производим выборку, распределены равномерно, то распределение вероятностей для должно удовлетворять:
тогда с
и так
которая с соответствующей нормализацией соответствует гистограмме, сгенерированной в случае отсутствия шума.
С шумом
Итак, мой вопрос: как я могу аналитически включить шум в распределение? Я думаю, что это что-то вроде умного сочетания распределений или включения шума в определение , но у меня нет идей и способов двигаться вперед, поэтому любые подсказки / советы или даже рекомендуемое чтение будут намного оценили.
Я думаю, что производное выражение для P (x) отключено в два раза. Равномерно распределенное время выборки эквивалентно равномерно распределенной фазе по интервалу -pi, pi. Тригонометрическая функция распределяет вероятность по интервалу y {-1,1}. Интегрирование P (y) за этот интервал должно = 1, а не 2, как получено с использованием вашего подынтегрального выражения выше. Я думаю, что P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))
источник