Распределение вероятностей для шумной синусоиды

12

Я рассчитываю аналитически рассчитать распределение вероятностей точек выборки из осциллирующей функции, когда есть некоторая ошибка измерения. Я уже рассчитал распределение вероятностей для части «без шума» (я поставлю это в конце), но я не могу понять, как включить «шум».

Численная оценка

Чтобы быть более понятным, представьте, что есть некоторая функция которой вы случайным образом выбираете точки в течение одного цикла; если вы укажете точки в гистограмме, вы получите что-то, связанное с распределением.Y(Икс)знак равногрех(Икс)

Без шума

Например, вот и соответствующая гистограммаsяN(Икс)

введите описание изображения здесь

С шумом

Теперь, если есть какая-то ошибка измерения, тогда она изменит форму гистограммы (и, следовательно, я думаю, что основное распределение). Например

введите описание изображения здесь

Аналитический расчет

Надеюсь, я убедил вас, что между ними есть какая-то разница, а сейчас я напишу, как я рассчитал случай «без шума»:

Без шума

Y(Икс)знак равногрех(Икс)

Тогда, если времена, в которые мы производим выборку, распределены равномерно, то распределение вероятностей для должно удовлетворять:Y

п(Y)dYзнак равноdИкс2π

тогда с

dИксdYзнак равноddY(агсзш(Y))знак равно11-Y2

и так

п(Y)знак равно12π1-Y2

которая с соответствующей нормализацией соответствует гистограмме, сгенерированной в случае отсутствия шума.

С шумом

Итак, мой вопрос: как я могу аналитически включить шум в распределение? Я думаю, что это что-то вроде умного сочетания распределений или включения шума в определение , но у меня нет идей и способов двигаться вперед, поэтому любые подсказки / советы или даже рекомендуемое чтение будут намного оценили.Y(Икс)

Greg
источник

Ответы:

10

Это зависит от того, как устроен шумовой процесс.

Предполагая, что я правильно понял вашу ситуацию, если шум аддитивен, независим и одинаково распределен, вы просто возьмете Y

ИксяИксYя|Иксязнак равноИксягрех(Икся)Yграмм

εя~N(0,σ2)е(ε)знак равно12πσехр(ε22σ2)е*грамм

еY+ε(Z)знак равно(е*грамм)(Z)знак равно-еY(Y)еε(Z-Y)dYзнак равно-еY(Z-вес)еε(вес)dвес

введите описание изображения здесь

(эта свертка была сделана численно; я не знаю, насколько поддается обработке этот интеграл в этом примере, потому что я не пробовал его.)

Glen_b - Восстановить Монику
источник
Чудесные вещи, мне не хватало идеи "свертки", поскольку ваши цифры показывают, что это точно. Просто надо попробовать интеграцию. Спасибо
Грег
2
Это может показаться неразрешимым, но обычно нетрудно приблизить результат численно.
Glen_b
0

Я думаю, что производное выражение для P (x) отключено в два раза. Равномерно распределенное время выборки эквивалентно равномерно распределенной фазе по интервалу -pi, pi. Тригонометрическая функция распределяет вероятность по интервалу y {-1,1}. Интегрирование P (y) за этот интервал должно = 1, а не 2, как получено с использованием вашего подынтегрального выражения выше. Я думаю, что P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))

Джефф Паттерсон
источник
Вполне возможно, именно поэтому я заявил «с соответствующей нормализацией», так как мне было лень думать об этом в то время. Спасибо.
Грег