Для унимодального распределения, если среднее = медиана, тогда достаточно ли сказать, что распределение симметрично?
Википедия говорит об отношениях между средним и средним:
«Если распределение симметрично, то среднее значение равно медиане, а распределение будет иметь нулевую асимметрию. Если, кроме того, распределение является унимодальным, то среднее = медиана = мода. Это случай броска монеты или серия 1,2,3,4, ... Обратите внимание, однако, что обратное утверждение в целом неверно, т. е. нулевая асимметрия не означает, что среднее значение равно медиане. "
Тем не менее, мне не очень просто собирать нужную мне информацию. Любая помощь, пожалуйста.
Это началось как комментарий, но росло слишком долго; Я решил сделать это больше ответом.
Прекрасный ответ Алексиса имеет дело с непосредственным вопросом (короче говоря: i. Что логически , не означает, что ; и ii. Обратное утверждение на самом деле вообще неверно), а Silverfish дает контрпримеры. BA⟹В В⟹A
Я хотел бы разобраться с некоторыми дополнительными вопросами и указать на некоторые обширные ответы, которые уже здесь, которые связаны в некоторой степени.
Заявление на странице Википедии, которое вы цитируете, также не совсем верно. Рассмотрим, например, распределение Коши, которое, безусловно, симметрично относительно его медианы, но не имеет среднего значения. Утверждение нуждается в определителе, таком как «при условии, что существует среднее значение и асимметрия». Даже если мы приведем его к более слабому утверждению в первой половине первого предложения, оно все равно нуждается в «условии, что среднее существует».
Ваш вопрос частично связывает симметрию с нулевой асимметрией (я предполагаю, что вы предполагаете асимметрию третьего момента, но аналогичное обсуждение может быть написано для других мер асимметрии). Наличие 0 асимметрии не подразумевает симметрию. Более поздняя часть вашей цитаты и раздел из Википедии, цитируемый Алексис, упоминают об этом, хотя в объяснении, приведенном во второй цитате, может использоваться некоторая настройка.
Этот ответ показывает, что взаимосвязь между асимметрией третьего момента и направлением взаимосвязи между средним и медианой является слабой (асимметрия третьего момента и асимметрия второго Пирсона не должны соответствовать).
Пункт 1. в этом ответе дает дискретный контрпример, аналогичный, но отличающийся от приведенного Silverfish.
Изменить: я наконец-то выкопал унимодальный пример, который я действительно искал ранее.
В этом ответе я упоминаю следующую семью:
Взяв два конкретных члена (скажем, синюю и зеленую плотности в конкретном примере в этом связанном ответе, которые имеют и соответственно), и переверните один из них по x- ось и взяв 50-50 смесь двух, мы получили бы унимодальную асимметричную плотность со всеми нечетными моментами ноль:α = 1α = 0 α =12
(серые линии показывают синюю плотность, перевернутую вокруг оси x, чтобы сделать асимметрию ровной)
Whuber дает еще один пример здесь с нулевой асимметрией , что это непрерывное, унимодальны и асимметричным. Я воспроизвел его схему:
который показывает пример и то же самое перевернуло среднее значение (чтобы ясно показать асимметрию), но вы должны прочитать оригинал, который содержит много полезной информации.
[Ответ Whuber в здесь дает еще один асимметричный непрерывное семейство распределений с теми же моментами. Выполнение одного и того же трюка «выбери два, переверни один и возьми смесь 50 на 50» имеет тот же асимметричный результат со всеми нечетными моментами, равными нулю, но я думаю, что здесь он не дает унимодальных результатов (хотя, возможно, есть некоторые примеры). ]
Ответ здесь обсуждает связь между средним, медианой и модой.
В этом ответе обсуждаются гипотезы проверки симметрии.
источник
Нет.
То же самое, что «если птенец - это курица, то его происхождение - яйцо», это не означает, что «если птенец - яйцо, то птенец - это курица».
Из той же статьи в Википедии:
источник
Интересные и простые для понимания примеры взяты из биномиального распределения.
Вот биномиальные вероятности для 0 (1) 5 успехов в 5 испытаниях, когда вероятность успеха равна 0,2. Это непосредственное , что среднее значение 0,2 5 1, что проверка вероятности подтверждают также , как медиана и режим (один), но распределение явно не симметричные. Естественно, есть много других примеров искаженных биномов со средним положительным числом.=× знак равно
Код Stata для этого дисплея был
mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'
и, по-видимому, настолько же прост или прост в любом статистическом программном обеспечении, о котором стоит упомянуть.С точки зрения психологии, а не логики, этот пример не может быть убедительно отклонен как патологический (как и в других задачах, можно игнорировать распределения, для которых определенные моменты даже не существуют) или как причудливый или тривиальный пример, придуманный для этой цели (как например, изобретенные данные, описанные @Silverfish или 0, 0, 1, 1, 1, 3).
источник