Почему выборочное распределение дисперсии является распределением хи-квадрат?

Заявление

Распределение выборки дисперсии выборки представляет собой распределение хи-квадрат со степенью свободы, равной , где - размер выборки (учитывая, что интересующая случайная величина обычно распределена).$n-1$$n$

Источник

Моя интуиция

Мне это кажется интуитивно понятным: 1) потому что критерий хи-квадрат выглядит как сумма квадратов и 2) потому что распределение хи-квадрат - это просто сумма квадратов нормального распределения. Но, тем не менее, я не очень хорошо понимаю это.

Вопрос

Это утверждение верно? Зачем?

[Я предполагаю из обсуждения в вашем вопросе, что вы рады принять за факт, что если являются независимыми одинаково распределенными N ( 0 , 1 ) случайными величинами, то ∑ k i $Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$ .]$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Формально результат, который вам нужен, следует из теоремы Кохрана . (Хотя это можно показать другими способами)

Менее формально, учтите, что если мы знали среднее значение популяции, и оценили дисперсию о нем (а не о среднем по выборке): , тогдаs 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (Zi=(Xi-μ)/σ), которое будет равно$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ раз aχ 2 n случайная величина.$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

Тот факт, что используется среднее значение выборки, вместо среднего значения совокупности ( ) делает сумму квадратов отклонений меньшей, но именно таким образом, чтобы ∑ $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (о чем см. Теорему Кохрана). Следовательно, вместо n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n теперь мы имеем ( n - 1 ) s 2 / σ $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ .$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$