Связь между гамма-распределением и хи-квадрат

Если где , то есть все - это нормальные случайные переменные нулевого среднего с одинаковыми дисперсиями, затем

$$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$$ $X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$$X_i$ $$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$$

Я знаю , что хи-квадрат распределение является частным случаем гамма - распределения, но не может получить распределение хи-квадрат для случайной величины . Любая помощь, пожалуйста?$Y$

Некоторый фон

Распределение определяется как распределение, которое получается в результате суммирования квадратов независимых случайных величин , поэтому: где обозначает, что случайные величины и иметь одинаковое распределение (EDIT: будет обозначать как распределение Хи-квадрат с степенями свободы, так и случайную величину с таким распределением ). Теперь pdf дистрибутива n N ( 0 , 1 ) Если  X 1 , … , X n ∼ N ( 0 , 1 )  и независимы, то  Y 1 = n ∑ i = 1 X 2 i ∼ χ $\chi^2_n$$n$$\mathcal{N}(0,1)$X∼YXYχ 2 n nχ 2 n fχ2(

$$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$$ $X\sim Y$$X$$Y$$\chi_n^2$$n$$\chi^2_n$ $$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ Так что, действительно, является частным случаем распределения с pdf Теперь ясно, что .$\chi^2_n$$\Gamma(p,a)$ $$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ $\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Ваш случай

Разница в вашем случае в том, что у вас есть нормальные переменные с общими дисперсиями . Но в этом случае возникает аналогичное распределение: поэтому следует распределению, полученному в результате умножения случайной величины на . Это легко получить с помощью преобразования случайных величин ( ): Обратите внимание, что это то же самое, что сказать, чтоσ 2 ≠ 1 Y 2$X_i$$\sigma^2\neq1$Yχ2n

$$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$$ $Y$$\chi_n^2$$\sigma^2$$Y_2=\sigma^2Y_1$ $$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$$ $Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$так может быть поглощен гамма в параметра.$\sigma^2$$a$

Заметка

Если вы хотите извлечь pdf из с нуля (что также относится к ситуации с при незначительных изменениях), вы можете выполнить первый шаг здесь для используя стандартное преобразование для случайных величин. Затем вы можете выполнить следующие шаги или сократить доказательство, опираясь на свойства свертки гамма-распределения и его связь с описанным выше. σ 2 ≠ 1 χ 2 1 χ 2 $\chi^2_n$$\sigma^2\neq1$$\chi_1^2$$\chi^2_n$