Доказательство стационарности АР (2)

17

Рассмотрим процесс AR (2) где - стандартный процесс белого шума. Просто для простоты позвольте мне назвать и . Сосредоточившись на корнях уравнения характеристик, я получил Классические условия в учебниках следующие: Я пытался вручную (с помощью Mathematica) решить неравенства на корнях, т. е. систему получая только

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
ϵtϕ1=bϕ2=a
z1,2=b±b2+4a2a
{|a|<1a±b<1
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
Можно ли восстановить третье условие ( ), добавив два предыдущих решения друг к другу, получив которое по некоторым признакам знака становится ? Или я пропускаю решение?|a|<1a+b+ab<2a<1|a|<1
Marco
источник

Ответы:

18

Я предполагаю, что характерное уравнение, от которого вы уходите, отличается от моего. Позвольте мне сделать пару шагов, чтобы понять, согласны ли мы.

Рассмотрим уравнение

λ2ϕ1λϕ2=0

Если z является корнем «стандартного» характеристического уравнения 1ϕ1zϕ2z2=0 и установки z1=λ , отображение получается при переписывании стандартного уравнения следующим образом:

1ϕ1zϕ2z2=0z2ϕ1z1ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
Следовательно, альтернативное условие устойчивостиAR(2)состоит в том, что все корни первого отображения находятсявнутриединичного круга,|z|>1|λ|=|z1|<1.

Мы используем это представление для получения треугольника стационарности процесса AR(2) , то есть, что AR(2) является стабильным, если выполняются следующие три условия:

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

Напомним, что вы можете записать корни первого отображения (если они действительны) как

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22
чтобы найти первые два условия.

Тогда AR(2) является стационарным тогда и только тогда, когда |λ|<1 , следовательно (если λi действительны):

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
Больший из двухλiограниченϕ1+ϕ12+4ϕ2<2или:
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
Аналогично находим, чтоϕ2<1+ϕ1.

Если λi сложен, то ϕ12<4ϕ2 и так

λ1,2=ϕ1/2±i(ϕ12+4ϕ2)/2.
Квадрат модуля комплексного числа представляет собой квадрат действительного плюс квадрат мнимой части. Следовательно,
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
Это стабильно, если|λ|<1, следовательно, еслиϕ2<1илиϕ2>1, как должно было быть показано. (Ограничениеϕ2<1ϕ22<1ϕ2<1+ϕ1ϕ2<1ϕ1

Построив треугольник стационарности, также указав линию, которая отделяет комплекс от реальных корней, мы получим

enter image description here

Произведено в R с использованием

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)
Кристоф Ханк
источник
this is a very detailed explanation.
Marco
@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for λ2. Also, what do you mean by square of a complex number? If z=a+bi then z2=a2b2+2iab. How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"
shani
1
Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.
Christoph Hanck
@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?
Richard Hardy
I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable MA() representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.
Christoph Hanck