Разве отрицательный бином не выражен, как в экспоненциальном семействе, если есть 2 неизвестных?

У меня было домашнее задание, чтобы выразить отрицательное биномиальное распределение как экспоненциальное семейство распределений, учитывая, что параметр дисперсии был известной константой. Это было довольно легко, но я удивлялся, почему они требуют, чтобы мы держали этот параметр фиксированным. Я обнаружил, что не могу придумать способ привести его в правильную форму с двумя неизвестными параметрами.

Посмотрев онлайн, я обнаружил претензии, что это невозможно. Однако я не нашел доказательств того, что это правда. Я не могу придумать и сам. У кого-нибудь есть доказательства этого?

Как указано ниже, я приложил пару претензий:

«Семейство отрицательных биномиальных распределений с фиксированным числом отказов (иначе называемое параметром времени остановки) r является экспоненциальным семейством. Однако, когда любой из вышеупомянутых фиксированных параметров может изменяться, результирующее семейство не является экспоненциальным семейством. " http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

«Двухпараметрическое отрицательное биномиальное распределение не является членом экспоненциального семейства. Но если мы рассматриваем параметр дисперсии как известную фиксированную константу, то он является членом». http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

self-study mathematical-statistics negative-binomial proof exponential-family Larry
источник

Я добавил пару претензий выше.

Ларри

Ответы:

Если вы посмотрите на плотность отрицательного биномиального распределения относительно счетной меры по набору целых чисел, часть в этой плотности не может быть выражается как .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

Сиань
источник