Объяснение для нецелых степеней свободы в t-тесте с неравными отклонениями

15

Процедура t-теста SPSS сообщает о 2 анализах при сравнении двух независимых средних: один анализ с одинаковыми предполагаемыми отклонениями и один с равными отклонениями не предполагаемый. Степени свободы (df), когда предполагаются равные отклонения, всегда являются целочисленными значениями (и равны n-2). Значение df, когда равные отклонения не предполагаются, не является целым числом (например, 11.467) и нигде не близко к n-2. Я ищу объяснение логики и метода, используемого для вычисления этих нецелых df.

Джоэл В.
источник
3
Презентация PowerPoint Университета Флориды содержит хороший отчет о том, как это приближение к распределению выборки t-статистики Стьюдента выводится для случая неравных отклонений.
whuber
T-тест Уэлча всегда точнее? Есть ли недостаток в использовании подхода Уэлча?
Джоэл В.
Если Уэлч и исходный t-тест дают резко отличающиеся p, с чем мне идти? Что если значение p для различий в отклонениях составляет всего 0,06, а различия в значениях двух t-тестов равны .000 и .121? (Это произошло, когда одна группа из 2 не имела дисперсии, а другая группа из 25 имела дисперсию 70000).
Джоэль В.
2
Не выбирайте между ними на основе значения . Если у вас нет веской причины (даже прежде, чем вы увидите данные) предположить равную дисперсию, просто не делайте этого предположения. p
Glen_b
1
Все вопросы касаются того, когда использовать тест Уэлча. Этот вопрос был размещен по адресу stats.stackexchange.com/questions/116610/…
Джоэль В.

Ответы:

11

Можно показать, что Welch-Satterthwaite df представляет собой взвешенное средневзвешенное гармоническое значение двух степеней свободы с весами, пропорциональными соответствующим стандартным отклонениям.

Исходное выражение гласит:

νW=(s12n1+s22n2)2s14n12ν1+s24n22ν2

Замечу , что это предполагаемая дисперсия I - го выборочного среднего или квадрат из я ей стандартной ошибки средних . Пусть r = r 1 / r 2 (отношение оценочных дисперсий выборки к средним), поэтомуri=si2/niithir=r1/r2

νW=(r1+r2)2r12ν1+r22ν2=(r1+r2)2r12+r22r12+r22r12ν1+r22ν2=(r+1)2r2+1r12+r22r12ν1+r22ν2

1+sech(log(r))1r=02r=11r=logr.

Вторым фактором является взвешенное гармоническое среднее :

H(x_)=i=1nwii=1nwixi.

of the d.f., where wi=ri2 are the relative weights to the two d.f.

Which is to say, when r1/r2 is very large, it converges to ν1. When r1/r2 is very close to 0 it converges to ν2. When r1=r2 you get twice the harmonic mean of the d.f., and when s12=s22 you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for νW.

--

With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.

The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.

A more textbook-style derivation can be found here.

Glen_b -Reinstate Monica
источник
1
Great insight about the harmonic mean, which is more appropriate than arithmetic mean for averaging ratios.
Felipe G. Nievinski
10

What you are referring to is the Welch-Satterthwaite correction to the degrees of freedom. The t-test when the WS correction is applied is often called Welch's t-test. (Incidentally, this has nothing to do with SPSS, all statistical software will be able to conduct Welch's t-test, they just don't usually report both side by side by default, so you wouldn't necessarily be prompted to think about the issue.) The equation for the correction is very ugly, but can be seen on the Wikipedia page; unless you are very math savvy or a glutton for punishment, I don't recommend trying to work through it to understand the idea. From a loose conceptual standpoint however, the idea is relatively straightforward: the regular t-test assumes the variances are equal in the two groups. If they're not, then the test should not benefit from that assumption. Since the power of the t-test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a t-distribution with that df.

gung - Reinstate Monica
источник
For one t-test, SPSS reports the df as 26.608 but the n's for the two groups are 22 and 104. Are you sure about " The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the larger group"? (The standard deviations are 10.5 and 8.1 for the smaller and larger groups, respectively.)
Joel W.
2
It depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2. If the larger n is associated with a sufficiently larger variance, the combined d.f. can be lower than the larger of the two d.f. Note that the Welch t-test is only approximate, since the squared denominator is not actually a (scaled) chi-square random variate. However in practice it does quite well.
Glen_b -Reinstate Monica
I think I'll expand on the relationship between the relative sizes of the (si2/ni) and the Welch d.f. in an answer (since it won't fit in a comment).
Glen_b -Reinstate Monica
1
@Glen_b, I'm sure that will be of great value here.
gung - Reinstate Monica