Недавно я столкнулся с двумерным распределением Пуассона, но меня немного смущает, как его можно получить.
Распределение дается:
P ( X = x , Y = y ) = e - ( θ 1 + θ 2 + θ 0 ) θ x 1х ! θ у 2у ! m i n ( x , y ) ∑ i=0 ( xя ) ( уя ) я! ( θ 0θ 1 θ 2 )i
Из того, что я могу извлечь, термин θ 0
Имея это в виду, моя путаница основывается на термине суммирования - Я предполагаю , что этот термин объясняет корреляцию между Икс
Мне кажется, что слагаемое представляет собой своего рода произведение биномиальных кумулятивных функций распределения, где вероятность "успеха" определяется как ( θ 0θ 1 θ 2 )
Может ли кто-нибудь оказать некоторую помощь в получении этого распределения? Кроме того, если бы в любой ответ можно было включить, как эту модель можно распространить на многовариантный сценарий (скажем, три или более случайных переменных), это было бы здорово!
(Наконец, я отметил, что подобный вопрос был опубликован ранее ( Понимание двумерного распределения Пуассона ), но деривация фактически не исследовалась.)
Ответы:
В слайд-презентации Карлис и Нтуфрас определяют двумерный Пуассон как распределение где независимо имеют распределения Пуассона . Напомним, что наличие такого средства распределения( X , Y ) = ( X 1 + X 0 , X 2 + X 0 )(X,Y)=(X1+X0,X2+X0) X i Xi θ iθi
Pr ( X i = k ) = e - θ i θ k iк !
дляk = 0 , 1 , 2 , … .k=0,1,2,….
Событие является непересекающимся объединением событий( X , Y ) = ( x , y )( Х, Y) = ( х , у)
( X 0 , X 1 , X 2 ) = ( i , x - i , y - i )
для всех которые делают все три компонента неотрицательными целыми числами, из которых мы можем вывести, что . Поскольку независимы, их вероятности умножаются, откудаii 0≤i≤min(x,y)0≤i≤min(x,y) XiXi
F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=min(x,y)∑i=0Pr(X0=i)Pr(X1=x−i)Pr(X2=y−i).
Это формула; мы сделали. Но чтобы увидеть, что оно эквивалентно формуле в вопросе, используйте определение распределения Пуассона, чтобы записать эти вероятности в терминах параметров и (предполагая, что ни один из равен нулю), переработать его алгебраически выглядеть максимально похожим на произведение :θiθi θ1,θ2θ1,θ2 Pr(X1=x)Pr(X2=y)Pr(X1=x)Pr(X2=y)
F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=min(x,y)∑i=0(e−θ0θi0i!)(e−θ1θx−i1(x−i)!)(e−θ2θy−i2(y−i)!)=e−(θ1+θ2)θx1x!θy2y!(e−θ0min(x,y)∑i=0θi0i!x!θ−i1(x−i)!y!θ−i2(y−i)!).
Если вы действительно хотите - это несколько наводит на мысль - вы можете повторно выразить термины в сумме, используя биномиальные коэффициенты И , уступающий(xi)=x!/((x−i)!i!)(xi)=x!/((x−i)!i!) (yi)(yi)
F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e−(θ0+θ1+θ2)θx1x!θy2y!min(x,y)∑i=0i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,
точно как в вопросе.
Обобщение для многомерных сценариев может осуществляться несколькими способами, в зависимости от необходимой гибкости. Самым простым было бы рассмотреть распределение
(X1+X0,X2+X0,…,Xd+X0)
для независимых распределенных по Пуассону переменных . Для большей гибкости могут быть введены дополнительные переменные. Например, используйте независимые переменные Пуассона и рассмотрите многомерное распределение ,X0,X1,…,XdX0,X1,…,Xd ηiηi Y1,…,YdY1,…,Yd Xi+(Yi+Yi+1+⋯+Yd)Xi+(Yi+Yi+1+⋯+Yd) i=1,2,…,d.i=1,2,…,d.
источник
Вот способ вывести двумерное распределение Пуассона.
Пусть - независимые пуассоновские случайные величины с параметрами . Затем мы определяем . Переменная , общая для обоих и , вызывает корреляцию пары . Тогда мы должны вычислить вероятности массовых функций:X0,X1,X2X0,X1,X2 θ0,θ1,θ2θ0,θ1,θ2 Y1=X0+X1,Y2=X0+X2Y1=X0+X1,Y2=X0+X2 X0X0 Y1Y1 Y2Y2 (Y1,Y2)(Y1,Y2)
P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=min(y1,y2)∑x0=0P(X0=x0)P(X1=y1−x0)P(X2=y2−y0)=min(y1,y2)∑x0=0e−θ0θ0x0x0!e−θ1θ1y1−x0(y1−x0)!e−θ2θ2y2−x0(y2−x0)!=e−θ0−θ1−θ2θ1y1θ2y2min(y1,y2)∑x0=0(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)
Надеюсь, это поможет!
источник