Вывод двумерного распределения Пуассона

13

Недавно я столкнулся с двумерным распределением Пуассона, но меня немного смущает, как его можно получить.

Распределение дается:

P ( X = x , Y = y ) = e - ( θ 1 + θ 2 + θ 0 ) θ x 1х ! θ у 2у ! m i n ( x , y ) i=0 ( xя ) ( уя ) я! ( θ 0θ 1 θ 2 )iP(X=x,Y=y)=e(θ1+θ2+θ0)θx1x!θy2y!i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)i

Из того, что я могу извлечь, термин θ 0θ0 является мерой корреляции между ИксX и YY ; следовательно, когда ИксX и YY независимы, θ 0 = 0θ0=0 и распределение просто становится произведением двух одномерных распределений Пуассона.

Имея это в виду, моя путаница основывается на термине суммирования - Я предполагаю , что этот термин объясняет корреляцию между ИксX и YY .

Мне кажется, что слагаемое представляет собой своего рода произведение биномиальных кумулятивных функций распределения, где вероятность "успеха" определяется как ( θ 0θ 1 θ 2 )(θ0θ1θ2) и вероятность "отказа" определяется как я ! 1m i n ( x , y ) - яi!1min(x,y)i , потому что ( я ! 1m i n ( x , y ) - я ! )(min(x,y)-i)=i!(i!1min(x,y)i!)(min(x,y)i)=i!, но я мог бы быть далеко с этим.

Может ли кто-нибудь оказать некоторую помощь в получении этого распределения? Кроме того, если бы в любой ответ можно было включить, как эту модель можно распространить на многовариантный сценарий (скажем, три или более случайных переменных), это было бы здорово!

(Наконец, я отметил, что подобный вопрос был опубликован ранее ( Понимание двумерного распределения Пуассона ), но деривация фактически не исследовалась.)

user9171
источник
2
Разве первое слагаемое с показателем степени не должно быть вместо ? e - ( θ 1 + θ 2 + θ 0 )e(θ1+θ2+θ0) e θ 1 + θ 2 + θ 0eθ1+θ2+θ0
Жиль
1
@Giles Извините, я неправильно прочитал ваш комментарий - да, вы правы; термин должен читаться как . Спасибо, что поймали это! е - ( θ 1 + θ 2 + θ 0 )e(θ1+θ2+θ0)
user9171
3
В общем, это не «the» для многовариантных версий одномерных дистрибутивов, с некоторыми условными исключениями (например, «the» multivarariate normal). Существует много способов получения многомерных расширений, в зависимости от того, какие функции наиболее важны. Разные авторы могут иметь разные многовариантные версии распространенных одномерных распределений. Так в целом, можно сказать что - то вроде « в многомерном Пуассона», или «Так- то и так- х годов двумерным Пуассона» Это один довольно естественно один, но не единственный..
Glen_b -Reinstate Моника
2
(ctd) ... например, некоторые авторы ищут многомерное распределение, способное к отрицательной зависимости, способности, которой у него нет.
Glen_b

Ответы:

17

В слайд-презентации Карлис и Нтуфрас определяют двумерный Пуассон как распределение где независимо имеют распределения Пуассона . Напомним, что наличие такого средства распределения( X , Y ) = ( X 1 + X 0 , X 2 + X 0 ) (X,Y)=(X1+X0,X2+X0)X i Xiθ iθi

Pr ( X i = k ) = e - θ i θ k iк !

Pr(Xi=k)=eθiθkik!

дляk = 0 , 1 , 2 , .k=0,1,2,.

Событие является непересекающимся объединением событий( X , Y ) = ( x , y )( Х, Y) = ( х , у)

( X 0 , X 1 , X 2 ) = ( i , x - i , y - i )

(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)

для всех которые делают все три компонента неотрицательными целыми числами, из которых мы можем вывести, что . Поскольку независимы, их вероятности умножаются, откудаii0imin(x,y)0imin(x,y)XiXi

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=min(x,y)i=0Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=i=0min(x,y)Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

Это формула; мы сделали. Но чтобы увидеть, что оно эквивалентно формуле в вопросе, используйте определение распределения Пуассона, чтобы записать эти вероятности в терминах параметров и (предполагая, что ни один из равен нулю), переработать его алгебраически выглядеть максимально похожим на произведение :θiθiθ1,θ2θ1,θ2Pr(X1=x)Pr(X2=y)Pr(X1=x)Pr(X2=y)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=min(x,y)i=0(eθ0θi0i!)(eθ1θxi1(xi)!)(eθ2θyi2(yi)!)=e(θ1+θ2)θx1x!θy2y!(eθ0min(x,y)i=0θi0i!x!θi1(xi)!y!θi2(yi)!).

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=i=0min(x,y)(eθ0θi0i!)(eθ1θxi1(xi)!)(eθ2θyi2(yi)!)=e(θ1+θ2)θx1x!θy2y!(eθ0i=0min(x,y)θi0i!x!θi1(xi)!y!θi2(yi)!).

Если вы действительно хотите - это несколько наводит на мысль - вы можете повторно выразить термины в сумме, используя биномиальные коэффициенты И , уступающий(xi)=x!/((xi)!i!)(xi)=x!/((xi)!i!)(yi)(yi)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θx1x!θy2y!min(x,y)i=0i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θx1x!θy2y!i=0min(x,y)i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

точно как в вопросе.


Обобщение для многомерных сценариев может осуществляться несколькими способами, в зависимости от необходимой гибкости. Самым простым было бы рассмотреть распределение

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

для независимых распределенных по Пуассону переменных . Для большей гибкости могут быть введены дополнительные переменные. Например, используйте независимые переменные Пуассона и рассмотрите многомерное распределение ,X0,X1,,XdX0,X1,,XdηiηiY1,,YdY1,,YdXi+(Yi+Yi+1++Yd)Xi+(Yi+Yi+1++Yd)i=1,2,,d.i=1,2,,d.

Whuber
источник
1
слава! Кстати, не должен ли второй в больших скобках перед последним шагом быть ? eθ0eθ0eθ2eθ2
Жиль
1
@ Жиль Спасибо, что поймали опечатку - я исправил это. Начальный показатель должен быть ; в скобках правильно. θ0+θ1θ0+θ1θ1+θ2θ1+θ2eθ0eθ0
whuber
@whuber Спасибо, миллион! Это идеальный ответ!
user9171
@whuber Отличный ответ! Я до сих пор не понимаю, почему событие должно быть несвязанным объединением событий . Я думаю, это верно только для . Возможно, вы имели в виду (по компонентам)? Но достаточно ли этого для характеристики функции распределения? (X,Y)=(x,y)(X,Y)=(x,y)(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)i=0i=0(X,Y)(x,y)(X,Y)(x,y)
vanguard2k
@ vanguard2k Я не понимаю твой комментарий. Вы утверждаете, что эти события не пересекаются? (Тем не менее, они должны быть, поскольку они имеют различные значения .) Или вы утверждаете, что они не являются исчерпывающими? (Если да, какие значения ( , по вашему мнению, не были включены?)X0X0(X,Y)(X,Y)
whuber
4

Вот способ вывести двумерное распределение Пуассона.

Пусть - независимые пуассоновские случайные величины с параметрами . Затем мы определяем . Переменная , общая для обоих и , вызывает корреляцию пары . Тогда мы должны вычислить вероятности массовых функций:X0,X1,X2X0,X1,X2θ0,θ1,θ2θ0,θ1,θ2Y1=X0+X1,Y2=X0+X2Y1=X0+X1,Y2=X0+X2X0X0Y1Y1Y2Y2(Y1,Y2)(Y1,Y2)

P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=min(y1,y2)x0=0P(X0=x0)P(X1=y1x0)P(X2=y2y0)=min(y1,y2)x0=0eθ0θ0x0x0!eθ1θ1y1x0(y1x0)!eθ2θ2y2x0(y2x0)!=eθ0θ1θ2θ1y1θ2y2min(y1,y2)x0=0(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)

P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=x0=0min(y1,y2)P(X0=x0)P(X1=y1x0)P(X2=y2y0)=x0=0min(y1,y2)eθ0θ0x0x0!eθ1θ1y1x0(y1x0)!eθ2θ2y2x0(y2x0)!=eθ0θ1θ2θ1y1θ2y2x0=0min(y1,y2)(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)

Надеюсь, это поможет!
Къетил б Халворсен
источник
1
Привет Kjetil - я исправил проблемы с форматированием (но, желая изменить как можно меньше, оставил несколько опечаток без изменений). Я не понимаю, почему вы публикуете точную копию деривации в моем предыдущем ответе, особенно когда вы потеряли некоторые важные факторы, которые приводят к тому, что конечный результат будет неверным. Есть конкретный момент, который вы пытаетесь сделать? TEX
whuber
1
whuber: Я начал писать свой ответ до того, как ваш ответ был опубликован! иначе я бы этого не написал.
kjetil b halvorsen