Распределение «несмешанных» частей в зависимости от порядка смешивания

9

Предположим, у меня есть парные наблюдения, нарисованные как для . Пусть и обозначим через J - й по величине наблюдаемое значение Z . Что такое (условное) распределение X_ {i_j} ? (или, что то же самое, что Y_ {i_j} )XiN(0,σx2),YiN(0,σy2),i=1,2,,nZi=Xi+Yi,ZijjZXijYij

То есть каково распределение Xi обусловленное тем, что Zi является j м наибольшим из n наблюдаемых значений Z ?

Я предполагаю, что при ρ=σxσy0 распределение Xij сходится к безусловному распределению X , а как ρ - распределение Xij сходится к безусловному распределению j го порядка статистики из X . В середине, однако, я не уверен.

shabbychef
источник
Я удалил тег «смесь», потому что это вопрос о сумме (или, что эквивалентно, о коррелированных нормальных переменных), а не о их смеси.
whuber
Y яXi также считается независимым от , да? Yi
кардинал
@ Cardinal: да, они независимы.
Шаббычеф
Недавний и связанный с этим вопрос, который всплыл на math.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…
кардинал
Решение, опубликованное на math.SE, концептуально идентично решению, которое я даю ниже, но сформулировано с использованием несколько иной терминологии.
NRH

Ответы:

1

Обратите внимание, что случайная величина является функцией только от . Для вектора мы пишем для индекса й наибольшей координаты. Пусть также обозначает условное распределение заданном .Z = ( Z 1 , , Z n ) n z i j ( z ) j P z ( A ) = P ( X 1A Z 1 = z ) X 1 Z 1ijZ=(Z1,,Zn)nzij(z)jPz(A)=P(X1AZ1=z)X1Z1

Если мы разбиваем вероятности в соответствии со значением и дезинтегрируем wrt мы получаемZijZ

P(XijA)=kP(XkA,ij=k)=k(ij(z)=k)P(XkAZ=z)P(Zdz)=k(ij(z)=k)P(XkAZk=zk)P(Zdz)=k(ij(z)=k)Pzk(A)P(Zdz)=Pz(A)P(Zijdz)

Этот аргумент является довольно общим и опирается только на заявленные предположения , и может быть любой заданной функцией . ( X k , Y k )Zk(Xk,Yk)

При допущениях нормальных распределений (принимая ) и является суммой, условное распределение заданном равно и @probabilityislogic показывает, как вычислить распределение , поэтому мы имеем явные выражения для обоих распределений, которые входят в последний интеграл выше. Может ли интеграл быть вычислен аналитически - это другой вопрос. Вы могли бы быть в состоянии, но изо всех сил я не могу сказать, возможно ли это. Для асимптотического анализа, когда илиZ к Х 1 Z 1 = Z N ( сг 2 хσy=1ZkX1Z1=zZijσx0σx

N(σx21+σx2z,σx2(1σx21+σx2))
Zijσx0σx это может быть не нужно.

Интуиция, лежащая в основе приведенного выше вычисления, состоит в том, что это аргумент условной независимости. Учитывая переменные и независимы.X k i jZk=zXkij

NRH
источник
1

Распределение несложно, и оно определяется составным распределением Beta-F:Zij

pZij(z)dz=n!(j1)!(nj)!1σzϕ(zσz)[Φ(zσz)]j1[1Φ(zσz)]njdz

Где - это стандартный нормальный PDF, а - стандартный нормальный CDF, а .ϕ(x)Φ(x)σz2=σy2+σx2

Теперь, если вам задано, что , то является функцией 1-к-1 , а именно . Так что я думаю, что это должно быть простое применение правила Якобиана.Yij=yXijZijXij=Zijy

pXij|Yij(x|y)=n!(j1)!(nj)!1σzϕ(x+yσz)[Φ(x+yσz)]j1[1Φ(x+yσz)]njdx

Это кажется слишком простым, но я думаю, что это правильно. Рад быть показанным неправильно.

probabilityislogic
источник
Вы неправильно поняли вопрос. Я ищу распределение как функцию . Я на самом деле не наблюдаю и и не могу их обусловить. Можно предположить, wlog, что , и, таким образом, рассматривать только параметры . Xijj,n,σx,σyXiYiσx=1j,n,σy
Шаббычеф
хорошо - так в принципе вам нужно удалить из этого уравнения? (интегрировано)y
вероятностная
да; и это не зависит от Z ...
shabbychef