Почему glmer не достигает максимальной вероятности (что подтверждается применением дополнительной общей оптимизации)?

37

Численно получить MLE из GLMM сложно, и на практике, я знаю, мы не должны использовать оптимизацию методом грубой силы (например, используя optimпростой способ). Но для моих собственных образовательных целей я хочу попробовать, чтобы убедиться, что я правильно понимаю модель (см. Код ниже). Я обнаружил, что всегда получаю противоречивые результаты glmer().

В частности, даже если я использую MLE в glmerкачестве начальных значений, в соответствии с функцией правдоподобия, которую я написал ( negloglik), они не являются MLE ( opt1$valueменьше, чем opt2). Я думаю, что две возможные причины:

  1. negloglik плохо написано, так что в нем слишком много числовых ошибок, и
  2. спецификация модели неверна. Для спецификации модели предполагаемая модель:

Lзнак равноΠязнак равно1N(-е(Yя|N,a,б,ря)г(ря|s)dря)
где - биномиальный коэффициент pmf, а - нормальный pdf. Я пытаюсь оценить , и . В частности, я хочу знать, является ли спецификация модели неправильной, какова правильная спецификация.егaбs
p <- function(x,a,b) exp(a+b*x)/(1+exp(a+b*x))

a <- -4  # fixed effect (intercept)
b <- 1   # fixed effect (slope)
s <- 1.5 # random effect (intercept)
N <- 8
x <- rep(2:6, each=20)
n <- length(x) 
id <- 1:n
r  <- rnorm(n, 0, s) 
y  <- rbinom(n, N, prob=p(x,a+r,b))


negloglik <- function(p, x, y, N){
  a <- p[1]
  b <- p[2]
  s <- p[3]

  Q <- 100  # Inf does not work well
  L_i <- function(r,x,y){
    dbinom(y, size=N, prob=p(x, a+r, b))*dnorm(r, 0, s)
  }

  -sum(log(apply(cbind(y,x), 1, function(x){ 
    integrate(L_i,lower=-Q,upper=Q,x=x[2],y=x[1],rel.tol=1e-14)$value
  })))
}

library(lme4)
(model <- glmer(cbind(y,N-y)~x+(1|id),family=binomial))

opt0 <- optim(c(fixef(model), sqrt(VarCorr(model)$id[1])), negloglik, 
                x=x, y=y, N=N, control=list(reltol=1e-50,maxit=10000)) 
opt1 <- negloglik(c(fixef(model), sqrt(VarCorr(model)$id[1])), x=x, y=y, N=N)
opt0$value  # negative loglikelihood from optim
opt1        # negative loglikelihood using glmer generated parameters
-logLik(model)==opt1 # but these are substantially different...

Более простой пример

Чтобы уменьшить вероятность получения большой числовой ошибки, я создал более простой пример.

y  <- c(0, 3)
N  <- c(8, 8)
id <- 1:length(y)

negloglik <- function(p, y, N){
  a <- p[1]
  s <- p[2]
  Q <- 100  # Inf does not work well
  L_i <- function(r,y){
    dbinom(y, size=N, prob=exp(a+r)/(1+exp(a+r)))*dnorm(r,0,s)
  }
  -sum(log(sapply(y, function(x){
    integrate(L_i,lower=-Q, upper=Q, y=x, rel.tol=1e-14)$value
  })))
}

library(lme4)
(model <- glmer(cbind(y,N-y)~1+(1|id), family=binomial))
MLE.glmer <- c(fixef(model), sqrt(VarCorr(model)$id[1]))
opt0 <- optim(MLE.glmer, negloglik, y=y, N=N, control=list(reltol=1e-50,maxit=10000)) 
MLE.optim <- opt0$par
MLE.glmer # MLEs from glmer
MLE.optim # MLEs from optim

L_i <- function(r,y,N,a,s) dbinom(y,size=N,prob=exp(a+r)/(1+exp(a+r)))*dnorm(r,0,s)

L1 <- integrate(L_i,lower=-100, upper=100, y=y[1], N=N[1], a=MLE.glmer[1], 
                s=MLE.glmer[2], rel.tol=1e-10)$value
L2 <- integrate(L_i, lower=-100, upper=100, y=y[2], N=N[2], a=MLE.glmer[1], 
                s=MLE.glmer[2], rel.tol=1e-10)$value

(log(L1)+log(L2)) # loglikelihood (manual computation)
logLik(model)     # loglikelihood from glmer 
каламбур
источник
MLE (не сами логарифмические правдоподобия) сопоставимы? То есть ты просто по константе?
Бен Болкер
1
Предполагаемые MLE явно отличаются ( MLE.glmerи MLE.optim), особенно для случайного эффекта (см. Новый пример), поэтому я думаю, что он основан не только на некотором постоянном факторе значений вероятности.
спор
4
@Ben Установка высокого значения nAGQin glmerсделало MLE сопоставимыми. Точность по умолчанию glmerбыла не очень хорошей.
спор
5
Ссылка на похожий вопрос lme4, с которым мне помог @Steve Walker: stats.stackexchange.com/questions/77313/…
Бен Огорек
3
Как старый вопрос с большим количеством голосов, это, вероятно, может быть решено. Я не вижу необходимости этого закрывать.
gung - Восстановить Монику

Ответы:

3

Установка высокого значения nAGQв glmerвызове сделала MLEs из двух методов эквивалентными. Точность по умолчанию glmerбыла не очень хорошей. Это решает проблему.

glmer(cbind(y,N-y)~1+(1|id),family=binomial,nAGQ=20)

См. Ответ @ SteveWalker здесь. Почему я не могу сопоставить вывод glmer (family = binomial) с ручной реализацией алгоритма Гаусса-Ньютона? Больше подробностей.

каламбур
источник
1
Но предполагаемые логарифмические правдоподобия очень разные (предположительно по некоторой константе), поэтому разные методы не следует смешивать.
спор
1
хм, интересно / удивительно - спасибо за настройку этого примера, я постараюсь найти время для его изучения.
Бен Болкер,