Почему добавление версии сигнала с задержкой по времени само по себе создает отфильтрованный сигнал?

Мне задали этот вопрос, и я не смог придумать ответ на месте, который не затрагивал частотную область (в основном, что коэффициенты последовательности задержки являются импульсной характеристикой КИХ-фильтра).

Есть ли у кого-нибудь понимание, которое делает этот процесс «очевидным»?

Когда вы задерживаете сигнал на секунд и добавляете его к самому сигналу, вы отменяете или обнуляете компонент сигнала на частоте Гц, поскольку этот компонент сигнала будет менять фазу точно на : \ begin {align} \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) + \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} (tT) + \ theta \ right) & = \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) + \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta - \ pi \ right) \\ & = \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) + \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) \ cos (\ pi) \\ & \ \ hspace {0.2in} - \ cos \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) \ sin (\ pi) \\ & = \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) - \ sin \ left (2 \ pi \ frac {1} {2T} t + \ theta \ right) -0 \\ & = 0. \ end {align}$T$ π sin ( 2 π $\frac{1}{2T}$$\pi$

$$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$$ Аналогичная вещь происходит и при нечетных кратных $\frac{1}{2T}$ Гц. Для соседних частот подавление не такое полное, и, конечно, при четных кратных $\frac{1}{2T}$ Гц компонент сигнала удваивается вместо того, чтобы быть отмененным. Аналогично, если задержанный сигнал уменьшается по амплитуде, подавление не завершается при $\frac{1}{2T}$ Гц и т. Д.

Чтобы подвести итог, то сигнал будет фильтруется , потому что разные частоты пропускают через с разными коэффициентами усиления.

Если вам нужно объяснение в частотной области, передаточная функция системы является преобразованием Фурье того, что ответ Мэтта дал в качестве импульсного отклика, а именно. которая является непостоянной функцией (фактически варьируется синусоидально от максимума до минимума как обсуждалось выше), и поэтому не является скалярным кратным . Фильтрация!F [ δ ( t ) + δ ( t - T ) ] = 1 + exp ( - j 2 π f T ) f | H ( f ) | 2 0 Y ( f ) = H ( f ) X ( f ) X ( f $H(f)$

$$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$$ $f$$|H(f)|$$2$$0$$Y(f)=H(f)X(f)$$X(f)$

Если вы определяете (линейную постоянную по времени) фильтрацию как свертку, то ответ очевиден: сумма сигнала и его задержанная версия могут быть записаны как свертка с импульсным откликом : где - задержка между двумя версиями сигнала.$h(t)$

$$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$$ $T$

Если задержка добавленной версии сигнала с задержкой составляет ровно один цикл любого периодического содержимого, то выходной сигнал будет дополнительно увеличен. Если задержка составляет ровно половину периода какого-либо синусоидального компонента, то этот компонент будет деструктивно создавать помехи и, следовательно, обнуляться из выходных данных. Если задержка равна нулю, то сигнал будет удвоен. Для комбинаций частоты / фазы, которые находятся между полной деструктивной помехой или полным сложением, аддитивный результат также будет промежуточным.

Увеличение и уменьшение выходного сигнала в зависимости от частотного содержимого входного сигнала является типичной фильтрацией.