Как понять усиление Кальмана интуитивно?

Алгоритм фильтра Калмана работает следующим образом

Инициализируйте и .$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

На каждой итерации$k=1,\dots,n$

прогнозировать

Прогнозируемая (априорная) оценка состояния Прогнозируемая (априори) ковариация оценки Обновление

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

Остаток нововведения или измерения Нововведение (или остаточное) ковариация Оптимальное усиление Калмана Обновленная (апостериорная) оценка состояния Обновлено (апостериорная) оценка ковариации

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

Коэффициент Калмана отражает относительную важность ошибки относительно предварительной оценки .$K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

Интересно, как интуитивно понять формулу Кальмана для усиления ? Рассмотрим случай, когда состояния и выходы являются скалярными, почему усиление больше, когда$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$ больше

• $\textbf{H}_k$ больше

• $\textbf{S}_k$ меньше?

Спасибо и всего наилучшего!

Я нашел хороший способ мышления интуитивно Калмана усиления . Если вы напишите таким образом$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

Вы поймете, что относительные величины матриц ( ) и ( ) управляют отношением между использованием фильтра прогнозируемой оценки состояния ( ) и измерением ( ).P k x k ⁻ ỹ$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Подстановка первого предела в уравнение обновления измерений

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

предполагает, что когда величина мала, а это означает, что измерения точны, оценка состояния зависит в основном от измерений.$R$

Когда состояние известно точно, тогда мало по сравнению с , и фильтр в основном игнорирует измерения, полагаясь вместо этого на прогноз, полученный из предыдущего состояния ( ).$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

Усиление Калмана говорит вам, насколько я хочу изменить свою оценку, учитывая измерение.

${\bf S}_k$ - оценочная ковариационная матрица измерений . Это говорит нам об «изменчивости» наших измерений. Если он большой, значит, измерения «сильно меняются». Так что ваша уверенность в этих измерениях низкая. С другой стороны, если мало , изменчивость мала, наша уверенность в измерении возрастает. Когда мы были уверены в наших измерениях, были уверены, что полученная нами информация достаточно хороша для того, чтобы мы могли обновить / изменить наши оценки состояния. Таким образом, прибыль Калмана выше.${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$ - оценочная ковариационная матрица состояний. Это говорит нам об «изменчивости» состояния, . Если большое , это означает, что состояние, по оценкам, сильно изменится. Таким образом, вы должны иметь возможность изменить свои оценки с новыми измерениями. В результате выгода Калмана выше.${\bf x}_k$${\bf P}_k$

И наоборот, если мало, то вы знаете, что ваше состояние не так сильно меняется, поэтому вы не хотите слишком сильно изменять свои оценки в каждый момент времени. В ответе @ Jav_Rock говорится, что если , то . Другими словами, он подразумевал, что если вы думаете, что ваше состояние больше не меняется, вы больше не пытаетесь изменить свою оценку.${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

Jav_Rock получил точку. На самом деле, если вы напишите так$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

числитель дроби обозначает неопределенность, полученную из модели, в то время как обозначает неопределенность измерения. Таким образом, значение дроби означает, насколько мы должны доверять измерению, как объяснено Jav_Rock.$\bf{R_k}$

Что касается , он просто переводит наблюдение обратно в состояние, потому что это состояние, которое мы хотим обновить, а не наблюдение.$\bf{H_k^-}$

В заключение, коэффициент усиления вычисляет, какую коррекцию мы должны извлечь из наблюдения, и преобразовываю коррекцию наблюдения обратно в коррекцию состояния, что приводит к обновлению оценки состояния:$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Я работаю над алгоритмом фильтра Калмана (KF). Я заметил, что коэффициент усиления Калмана связан со сходимостью алгоритма во времени, то есть с какой скоростью алгоритм корректирует и минимизирует остаток.

Подходя к уравнению, выберите начальное значение усиления Калмана и измените его от низкого до высокого, что может дать вам приблизительное значение.