Как фильтр может иметь нулевую групповую задержку?

Если вы пропустите волновой пакет через полосу пропускания фильтра нижних частот 1-го порядка, он будет задержан групповой задержкой фильтра и останется такой же амплитудой, верно?

Если вы пропустите один и тот же волновой пакет через дополнительный высокочастотный фильтр 1-го порядка с той же частотой среза, кривая групповой задержки будет такой же, поэтому задержка пакета будет такой же, но усиление будет намного ниже, поэтому быть задержанным и ослабленным до незначительности.

Поскольку выходной сигнал фильтра верхних частот очень мал, если вы суммируете выходы этих двух фильтров (как в кроссовере аудио), я ожидаю, что он будет незначительно отличаться от выходного сигнала фильтра нижних частот: большой задержанный сигнал + очень маленький задержанный сигнал = большой задержанный сигнал.

Тем не менее, если вы суммируете отклики фильтра, амплитуда везде равна 0 дБ, а фаза везде равна 0, и поэтому групповая задержка становится равной 0, что будет означать, что волновой пакет выходит без задержки и без изменений. Я не понимаю, как это может быть возможно. Не всегда ли фильтры вызывают задержку? Как фильтр (который также имеет положительную групповую задержку) может отменить задержку, вызванную другим каналом, особенно когда это происходит в полосе задержания?

В какой части я здесь недопонимаю?

Наиболее известные типы кроссоверов с линейной фазой - это неинвертированные кроссоверы первого порядка, ... Кроссовер первого порядка - это минимальная фаза, когда его выходы суммируются нормально; он имеет плоский фазовый график при 0 °. - Дизайн активных кроссоверов

а также

Здесь результат суммирования выходов вместе приводит к сдвигу фазы 0 °, то есть суммированная амплитуда и сдвиг фазы кроссовера 1-го порядка эквивалентны отрезку провода. - Кроссоверы Линквиц-Райли: Учебник для начинающих: Сети кроссоверов 1-го порядка

Тестирование фактических импульсов показывает, как низкочастотный (синий) задерживает импульс, как и ожидалось, и как высокочастотный (зеленый) может сочетаться с ним для создания исходного (красного) импульса, но как происходит импульс верхних частот перед исходным, если Фильтр верхних частот является причинно-следственной и имеет положительную групповую задержку? Интуиция подводит меня.

Это действительно показывает, что выходной сигнал верхних частот не столь незначителен, как я себе представлял, и задержка является более незначительной, чем я представлял, и когда вы перемещаете несущую частоту, эти два свойства изменяются пропорционально (меньшая задержка требует более высокочастотного выходного сигнала с меньшей амплитудой) исправить это). Но я до сих пор не понимаю этого.

Есть несколько интересных аспектов «восстановления единства». Во-первых, есть два способа объединения двух фильтров: параллельный и последовательный. Для параллельной топологии ВСЕГДА можно найти дополнительный фильтр, чтобы пары добавлялись к единице. На самом деле это достаточно просто. Просто сделайте$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$, Во временной области это означает, что импульсный отклик дополнительного фильтра является просто отрицательным по отношению к исходному импульсному отклику с 1, добавленным к первому образцу. Таким образом, все "неприятные" вещи отменяются. Теперь форма этого бесплатного фильтра не всегда соответствует ожиданиям. Для нижнего прохода 1-го порядка это фактически верхний проход первого порядка, но для фильтров более высокого порядка он имеет тенденцию иметь перепады «больше / меньше» в области отсечки. Тем не менее, он всегда существует в качестве стабильного причинного фильтра.

Серия (или каскад) «восстановление в единство» немного сложнее. Очевидно, что фильтры должны быть обратными друг другу, т.е. . В общем случае это можно сделать для любого минимального фазового фильтра. Обратный фильтр минимальной фазы также является минимальной фазой, и оба являются причинно-следственными и стабильными.$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Таким образом, это оставляет нас с вопросом о том, как интерпретировать групповую задержку в этих случаях. Каскадный случай на самом деле более интересен. Поскольку фильтры обратны друг другу, фаза и, следовательно, групповая задержка одного из них являются отрицательными для другого. Таким образом, на частотах, где один фильтр имеет положительную групповую задержку, другой имеет отрицательную групповую задержку. Простым примером будет низкая полка с усилением + 6 дБ и низкая полка с вырезом 6 дБ. Поэтому отрицательные групповые задержки очень реальны и, конечно, не являются нарушением причинно-следственной связи. На практике они проявляются в областях фильтра, которые являются довольно «неплоскими», поэтому традиционная интерпретация «задержки огибающей» не совсем применима, так как также имеется достаточное количество амплитудных искажений.

Если у вас в Google «отрицательная групповая задержка», вы можете найти несколько статей IEEE, посвященных этой теме.

В этой задаче нет неправильного применения групповой задержки, нарушения физики или причинности. Определение групповой задержки как отрицательной производной фазы по частоте все еще сохраняется, поскольку каждый фильтр сам по себе имеет положительную временную задержку, которая не является постоянной по частоте. Подробности раскрываются в том, что происходит, когда фильтры подключены параллельно или последовательно.

В этом примере перекрестного фильтра два фильтра явно параллельны для достижения показанного результата, что очень интуитивно понятно, как результат может иметь 0 групповых задержек: два фильтра - это низкие и высокие частоты; и при параллельном подключении действуют так, как будто ни один из фильтров не присутствует (все-с, с задержкой 0). Если бы эти фильтры были подключены последовательно, результатом будет полоса пропускания на перекрестке с ожидаемой задержкой; верхний проход ослабил бы низкие частоты, а низкочастотный ослабил бы высокие частоты, и при переходе оба сигнала пропустят -3 дБ сигнала, что приведет к величине 0,5 и фазе = 0 ° при переходе :$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Рассмотрим общий случай двух линейных систем параллельно и по частоте, как показано на блок-схеме ниже, с их частотными характеристиками. Обратите внимание, что коэффициенты и показатели являются функциями частоты, которые я пропустил, чтобы выражения были простыми и понятными; представляет и оба выражения являются преобразованием Фурье импульсного отклика этих систем (частотного отклика), такого как графики, показанные как ОП для систем верхних и нижних частот.$A_1 e^{j\phi_1}$$A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Рассмотрим первый случай в свете вопроса ОП. На пересечении каждый фильтр имеет величину и фазу, заданные как:

Highpass на перекрестке:$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

Низкий проход при пересечении:$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Параллельно результат будет: который равен 1 с углом 0. Этот случай легче всего увидеть графически как сложение двух векторов:$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Последовательным результатом будет . Когда вы умножаете векторы, вы умножаете величины и добавляете фазы (показатели степени), так что этот результат просто равен 0,5 с фазой 0.$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

И на самой высокой частоте каждый фильтр имеет величину и фазу, заданные как:

Highpass как f :$\rightarrow \infty$$1e^{j0}$

Низкочастотный как f :$\rightarrow \infty$$0e^{-j\pi}$

Обратите внимание, что результат для параллельного случая по-прежнему равен 1 с углом 0, но в случае ряда он приближается к 0 (с углом ), когда частота приближается к . Это имеет смысл: верхний проход пропускает сигнал (без задержки - фильтр прозрачен на самых высоких частотах), но нижний проход полностью блокирует его, поэтому ничего не проходит. Далее мы видим, как фаза изменяется в отрицательном направлении, когда мы проходим через кроссовер, и есть задержка в полосовом пропускании суммированных фильтров, определяемая как отрицательная величина наклона чистого фазового сдвига в зависимости от частоты ,$-\pi$$\infty$

То, что происходит между ними, требует специальных математических отношений между двумя фильтрами, чтобы параллельная комбинация суммировалась с нулевой фазой (и, следовательно, с нулевой групповой задержкой, что делает параллельную комбинацию прозрачной). Рассмотрим пример OP, где мы можем ясно видеть квадратурное соотношение в фазе двух фильтров. Таким образом, мы имеем:

Чтобы этот результат всегда имел нулевую фазу для всех частот, должно выполняться следующее равенство:

Или альтернативно описывается как:

$\phi_1$$A_1 = cos(\phi_1)$$A_2 = sin(\phi_1)$$\phi_1$

Что касается возможной интуиции с последним графиком, который показал ОП, и его вопросом, то подумайте, что производная является функцией верхних частот - если вы взяли производную от красного импульса, вы получите зеленый импульс в результате. Вы не можете начать получать этот результат, пока не появится красный импульс, поэтому нет причинно-следственной связи.

Я подумал, что это довольно интересный вопрос, поэтому постараюсь ответить на него, хотя и с опозданием на 5 лет.

Я думаю, что вы нашли способ неправильно использовать один из способов измерения групповой задержки, то есть вычислить ее как отрицательную производную фазы. В этой ситуации этот метод не подходит.

В этой ситуации более подходящим способом измерения групповой задержки является использование синусоидального входа и измерение задержки между входом и суммированным выходом. Конечно, чтобы получить полную картину, вам нужно будет выполнить частотную развертку, которая является хлопотной, но точной.

Если вы сделаете это, я думаю, мы все можем согласиться, что вы будете измерять ненулевую задержку в группе.

Групповая задержка связана с группой, то есть модулированным сигналом, поэтому измерение групповой задержки должно выполняться с использованием группы (модулированный сигнал). Группа, входящая в фильтр, должна быть одинаковой по форме на выходе фильтра. Форма означает, например, спектр группы. Измерения, выполненные на одной частоте, не содержат информации о групповой задержке.