Фурье-преобразование с дискретным временем последовательности единичных шагов

10

Из учебников мы знаем, что DTFT от даетсяU[N]

(1)U(ω)знак равноπδ(ω)+11-е-Jω,-πω<π

Тем не менее, я не видел учебник по DSP, который, по крайней мере, претендует на более или менее обоснованное выражение .(1)

Proakis [1] выводит правую половину правой части , устанавливая z = e ^ {j \ omega} в \ mathcal {Z} -преобразовании u [n] , и говорит, что это верно за исключением \ omega = 2 \ pi k (что, конечно, правильно). Затем он заявляет, что на полюсе \ mathcal {Z} -преобразования мы должны добавить дельта-импульс площадью \ pi , но для меня это больше похоже на рецепт, чем на что-либо еще.(1)Zзнак равноеJωZu[n]ω=2πkZπ

Оппенгейм и Шафер [2] упоминают в этом контексте

Хотя это не совсем просто показать, эта последовательность может быть представлена ​​следующим преобразованием Фурье:

за которым следует формула, эквивалентная (1) . К сожалению, они не потрудились показать нам это «не совсем прямое» доказательство.

Книга, которую я на самом деле не знал, но которую я нашел, когда искал доказательство (1) - « Введение в цифровую обработку сигналов и проектирование фильтров» Б.А. Шеноя. На странице 138 есть «вывод» (1) , но, к сожалению, это неправильно. Я задал вопрос «DSP-головоломки», чтобы люди показали, что не так с этим доказательством.]

Итак, мой вопрос :

Кто-нибудь может предоставить доказательство / вывод который является правильным или даже строгим, будучи доступным для математически склонных инженеров? Неважно, скопировано ли это из книги. Я думаю, что было бы хорошо иметь его на этом сайте в любом случае.(1)

Обратите внимание, что даже в math.SE почти ничего не нужно искать: у этого вопроса нет ответов, и у одного есть два ответа, один из которых неправильный (идентично аргументу Шеноя), а другой использует «свойство накопления» Я был бы счастлив, но затем нужно доказать это свойство, которое возвращает вас к началу (потому что оба доказательства в основном доказывают одно и то же).

В качестве заключительного замечания, я действительно придумал что-то вроде доказательства (ну, я инженер), и я также опубликую его как ответ через несколько дней, но я был бы рад собрать другие опубликованные или неопубликованные доказательства они просты и элегантны, и, самое главное, доступны для инженеров DSP.

PS: я не сомневаюсь в правильности (1) , я просто хотел бы увидеть одно или несколько относительно простых доказательств.


[1] Проакис, Дж. Г. и Д. Г. Манолакис, Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения , 3-е издание, раздел 4.2.8.

[2] Оппенгейм, А.В. и Р.В.Шафер, Обработка сигналов с дискретным временем , 2-е издание, с. 54.



Вдохновленный комментарием Маркуса Мюллера, я хотел бы показать, что U(ω) как дано уравнением. (1) удовлетворяет требованию

u[n]=u2[n]U(ω)=12π(UU)(ω)

Если U(ω) является DTFT для u[n] , то

V(ω)=11ejω

должен быть DTFT из

v[n]=12sign[n]

(где мы определяем sign[0]=1 ), потому что

V(ω)=U(ω)πδ(ω)u[n]12=12sign[n]

Итак, мы имеем

12π(VV)(ω)(12sign[n])2=14

из чего следует, что

12π(VV)(ω)=DTFT{14}=π2δ(ω)

С этим мы получаем

12π(UU)(ω)=12π[(πδ(ω)+V(ω))(πδ(ω)+V(ω))]=12π[π2δ(ω)+2πV(ω)+(VV)(ω)]=π2δ(ω)+V(ω)+π2δ(ω)=U(ω)q.e.d.
Мэтт Л.
источник
waaah. Не разрушай мой мир. Сомнение в этой формуле вводит царство хаоса. Например, и, следовательно, (с префиксом определения FT, зависящим от константы ),c DTFT ( u 2 ) ( ω )u2(t)=u(t)c
DTFT(u2)(ω)=cU(ω)U(ω)=cπU(ω)+c1+ejωU(ω)=cπ(πδ(ω)+11ejω)+cπ1+ejω+c11+ejω11+ejω=cπ2δ(ω)+2cπ1+ejω+c11+ejω11+ejω=magic?U
Маркус Мюллер,
@ MarcusMüller: Нет сомнений в этой формуле, это правильно. Вопрос только в том, как показать это так, чтобы простой инженер мог понять. И работает для данного DTFT, нет проблем. u2[n]=u[n]
Мэтт Л.
Я считаю себя очень простым, и это означает, что я беспокоюсь, когда вещи не чувствуют себя «в безопасности», когда я не вижу, как они происходят.
Маркус Мюллер
1
Я вижу, что вы ищете не для того, чтобы доказать, является ли уравнение правильным или нет, а скорее для того, чтобы строго и непосредственно вывести из первых принципов и определения DTFT. Тогда всякий раз, когда кто-то хочет сделать строгое доказательство, связанное с импульсами, тогда я думаю, что лучше обратиться к цитируемым книгам из обобщенной теории функций: Lighthill-1958 цитируется в Opp & Schafer для обсуждения импульсной функции и ее использования в преобразованиях Фурье. Все другие доказательства неизбежно будут опираться на доказательства, сделанные по этим ссылкам, и их будет недостаточно для замены строгого доказательства. U(w)
Fat32
1
@ Fat32: это правильная точка зрения. Я думаю, однако, что разумное обоснование возможно, если мы примем базовые преобразования, такие как , и если мы согласны определить интегралы по их главному значению Коши. DTFT{1}=2πδ(ω)
Мэтт Л.

Ответы:

3

Седрон Доуг опубликовал интересную начальную точку в этом ответе . Это начинается с этих шагов:

U(ω)=n=0+ejωn=limNn=0N1ejωn=limN[1ejωN1ejω]=11ejωlimN[ejωN1ejω]

Оказывается, срок внутри лимита можно расширить следующим образом :

ejωN1ejω=1sin2(ω)+(1cos(ω))2[cos(ω)cos(Nω)+cos(Nω)sin(ω)sin(Nω)+j(sin(ω)cos(Nω)+cos(ω)sin(ω)sin(Nω))]

Общий фактор вне скобок может быть выражен как :

1sin2(ω)+(1cos(ω))2=14sin2(ω/2)

Действительная часть внутри скобок также равна :

cos(ω)cos(Nω)+cos(Nω)sin(ω)sin(Nω)=2sin(ω/2)sin[ω(N+1/2)]

С другой стороны, мнимая часть может быть переписана как :

sin(ω)cos(Nω)+cos(ω)sin(ω)sin(Nω)=2sin(ω/2)cos[ω(N+1/2)]

Переписав первоначальный термин, мы получим следующее:

ejωN1ejω=2sin(ω2)4sin2(ω2)(sin[ω(N+1/2)]jcos[ω(N+1/2)])=sin[ω(M+1/2)]2sin(ω2)jcos[ω(M+1/2)]2sin(ω2)

M=N1M

Согласно 7-му определению на этом сайте :

limM12sin(ω/2)sin[ω(M+1/2)]=πδ(ω)

Пока у нас есть это:

limMejω(M+1)1ejω=πδ(ω)jlimMcos[ω(M+1/2)]2sin(ω/2)

0

U(ω)=11ejωlimN[ejωN1ejω]=11ejω+πδ(ω)+jlimMcos[ω(M+1/2)]2sin(ω/2)=11ejω+πδ(ω)
Tendero
источник
Это очень мило! Я проверил это, и все кажется правильным, так что мнимая часть должна в некотором смысле стремиться к нулю. Я подумаю об этом немного.
Мэтт Л.
@MattL. Дайте мне знать, если вы сможете добиться какого-либо прогресса!
Тендеро
@MattL. Доказательство наконец завершено!
Тендеро
ω=0ω01/(1ejω)ω=0
2

Я приведу два относительно простых доказательства, которые не требуют каких-либо знаний по теории распределения. Для доказательства, которое вычисляет DTFT с помощью предельного процесса, используя результаты из теории распределения, см. Этот ответ Tendero .

Я упомяну (и не буду подробно останавливаться) первое доказательство здесь, потому что я разместил его как ответ на этот вопрос , целью которого было показать, что определенное опубликованное доказательство является ошибочным.

Другое доказательство состоит в следующем. Давайте сначала запишем четную часть последовательности шагов блокаU[N]:

(1)Uе[N]знак равно12(U[N]+U[-N])знак равно12+12δ[N]

DTFT из (1) является

(2)ДВПФ{Uе[N]}знак равноπδ(ω)+12

которая равна реальной части DTFT U[N]:

(3)Uр(ω)знак равноре{U(ω)}знак равноπδ(ω)+12

поскольку U[N] реальная последовательность, которую мы сделали, потому что действительная и мнимая части U(ω) связаны через преобразование Гильберта, и, следовательно, Uр(ω) однозначно определяет U(ω), Однако в большинстве текстов DSP эти соотношения преобразования Гильберта выводятся из уравнениячас[N]знак равночас[N]U[N] (который действителен для любой причинной последовательности час[N]), из чего следует, что ЧАС(ω)знак равно12π(ЧАСU)(ω), Таким образом, чтобы показать отношение преобразования Гильберта между действительной и мнимой частями DTFT, нам нужен DTFTU[N], который мы на самом деле хотим вывести здесь. Таким образом, доказательство становится круглым. Вот почему мы выберем другой способ вывести мнимую частьU(ω),

Для получения UI(ω)=Im{U(ω)} we write the odd part of u[n] as follows:

(4)uo[n]=12(u[n]u[n])=u[n1]12+12δ[n]

Taking the DTFT of (4) gives

jUI(ω)=ejωU(ω)πδ(ω)+12=ejω(UR(ω)+jUI(ω))πδ(ω)+12=ejω(πδ(ω)+12)+ejωjUI(ω)πδ(ω)+12(5)=12(1+ejω)+ejωjUI(ω)

where I've used (3). Eq. (5) can be written as

(6)jUI(ω)(1ejω)=12(1+ejω)

The correct conclusion from (6) is (see this answer for more details)

(7)jUI(ω)=121+ejω1ejω+cδ(ω)

But since we know that UI(ω) must be an odd function of ω (because u[n] is real-valued), we can immediately conclude that c=0. Hence, from (3) and (7) we finally get

U(ω)=UR(ω)+jUI(ω)=πδ(ω)+12+121+ejω1ejω=πδ(ω)+12(1+1+ejω1ejω)(8)=πδ(ω)+11ejω
Matt L.
источник