Есть ли альтернативы билинейному преобразованию?

26

При разработке цифрового фильтра на основе аналогового фильтра мы обычно используем билинейное преобразование . Для аппроксимации дискретной передаточной функции из аналоговой (непрерывной) передаточной функции подставимA ( s )Da(z)A(s)

z=1+sT/21sT/2

гдеT - период выборки. В качестве альтернативы, для аппроксимации непрерывной передаточной функции из дискретной передаточной функции подставимD ( z )Aa(s)D(z)

s=2Tz1z+1

Существуют ли альтернативные методы выполнения таких преобразований? Есть ли лучшие приближения?

Phonon
источник

Ответы:

16

Аналоговые фильтры стабильны, если полюса находятся в левой половине s-плоскости (рисунок слева), а цифровые фильтры стабильны, если полюса находятся внутри единичного круга (рисунок справа). Математически все, что необходимо для преобразования из аналогового в цифровое, - это отображение (конформное?) Из полупространства на единичный диск и оси на единичную окружность . Любое преобразование, которое делает это, является возможным кандидатом на то, чтобы стать альтернативой двустороннему преобразованию.| z | = 1ȷΩ|z|=1

введите описание изображения здесь

Два из хорошо известных способов являются импульсным методом инвариантности и соответствуют Z-преобразования метод . Концептуально, оба из них похожи на выборку непрерывной формы волны, с которой мы знакомы. Обозначая обратное преобразование Лапласа через а Z-преобразование - ZL1Z , оба эти метода включают вычисление импульсной характеристики аналогового фильтра как

a(t)=L1{A(s)}

и выборку с интервалом выборки который достаточно высок, чтобы избежать наложения. Передаточная функция цифрового фильтра затем получается из выборочной последовательностиa(t)Ta[n] как

Da(z)=Z{a[n]}

Однако между ними есть ключевые различия.

Импульсный метод инвариантности:

В этом методе вы расширяете аналоговую передаточную функцию как частичные дроби (а не в согласованном Z-преобразовании, как упомянуто Питером ) как

A(s)=mCmsαm

где некоторая постоянная и α mCmαm - полюса. Математически любая передаточная функция с числителем меньшей степени, чем знаменатель, может быть выражена как сумма частичных дробей . Только фильтры нижних частот удовлетворяют этому критерию (высокочастотные и полосовые / полосовые ограничения имеют, по крайней мере, одинаковую степень), и, следовательно, импульсно-инвариантный метод не может использоваться для разработки других фильтров.

Причина, по которой он терпит неудачу, также совершенно ясна. Если у вас был многочлен в числителе той же степени, что и в знаменателе, у вас будет свободностоящий постоянный член, который при обратном преобразовании даст дельта-функцию, которая не может быть выбрана.

Если вы выполните обратное преобразование Лапласа и прямое Z, вы увидите, что полюса преобразуются как αmeαmT что означает, что если ваш аналоговый фильтр стабилен, цифровой фильтр также будет стабильным. Следовательно, он сохраняет стабильность фильтра.

Согласованное Z-преобразование

βmeβmTαmeαmT ( сохранение стабильности), предоставление

A(s)=m(sβm)n(sαn)m(1z1eβmT)n(1z1eαnT)

Вы можете легко увидеть ограничения обоих этих методов. Импульсный инвариант применим только в том случае, если ваш фильтр является низкочастотным, а метод согласованного z-преобразования применим к полосовым и полосовым фильтрам (и высокочастотным до частоты Найквиста). На практике они также ограничены частотой дискретизации (в конце концов, вы можете подняться только до определенной точки) и страдают от эффектов псевдонимов.

Билинейное преобразование на сегодняшний день является наиболее часто используемым методом на практике, и два вышеупомянутых метода в большей степени предназначены для академических интересов. Что касается преобразования обратно в аналоговый, извините, но я не знаю и не могу помочь, поскольку почти не использую аналоговые фильтры.

Лорем Ипсум
источник
Вау Вау ..... это лучшее объяснение, которое я видел по этой теме. Большое спасибо за то, что поделились. Прекрасная работа.
преобразование с согласованным z лучше для фильтров Бесселя, потому что важной особенностью фильтров Бесселя является их плоская групповая задержка, а не их частотная характеристика
эндолит
9

sz

Вот некоторые примеры:

Согласованное Z-преобразование

s

Y(s)=a0s+s0+a1s+s1+...

И преобразование каждой части расширения частичной дроби выполняется напрямую с использованием:

s+sn=1z1exp(snT)

Правило Симпсона

Одна из интерпретаций билинейного преобразования состоит в том, что это способ преобразования из непрерывного в дискретное время путем приближенной интеграции с использованием правила трапеции .

Более точный метод приблизительной интеграции использует правило Симпсона. Если используется это приближение, то результирующее отображение:

s=3Tz21z2+4z+1
Питер К.
источник
1
Правило Симпсона, по существу, квадратичная интерполяция (где правило трапеции является линейным)?
Питер Мортенсен
1
@ Питер Мортенсен: Да, в значительной степени!
Питер К.
Отличается ли ваше согласованное Z-преобразование от Lorem Ipsum? Я не вижу частичного разложения фракции где-либо еще.
эндолиты
@endolith см. ссылку на Википедию в моем ответе. Вот откуда я это взял. Answered Я ответил перед Lorem и не редактировал его.
Питер К.