Есть ли альтернативы билинейному преобразованию?

При разработке цифрового фильтра на основе аналогового фильтра мы обычно используем билинейное преобразование . Для аппроксимации дискретной передаточной функции из аналоговой (непрерывной) передаточной функции подставимA ( s $D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

где$T$ - период выборки. В качестве альтернативы, для аппроксимации непрерывной передаточной функции из дискретной передаточной функции подставимD ( z $A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Существуют ли альтернативные методы выполнения таких преобразований? Есть ли лучшие приближения?

Аналоговые фильтры стабильны, если полюса находятся в левой половине s-плоскости (рисунок слева), а цифровые фильтры стабильны, если полюса находятся внутри единичного круга (рисунок справа). Математически все, что необходимо для преобразования из аналогового в цифровое, - это отображение (конформное?) Из полупространства на единичный диск и оси на единичную окружность . Любое преобразование, которое делает это, является возможным кандидатом на то, чтобы стать альтернативой двустороннему преобразованию.| z | = $\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

Два из хорошо известных способов являются импульсным методом инвариантности и соответствуют Z-преобразования метод . Концептуально, оба из них похожи на выборку непрерывной формы волны, с которой мы знакомы. Обозначая обратное преобразование Лапласа через а Z-преобразование -$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$ , оба эти метода включают вычисление импульсной характеристики аналогового фильтра как

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

и выборку с интервалом выборки который достаточно высок, чтобы избежать наложения. Передаточная функция цифрового фильтра затем получается из выборочной последовательности$a(t)$$T$$a[n]$ как

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Однако между ними есть ключевые различия.

Импульсный метод инвариантности:

В этом методе вы расширяете аналоговую передаточную функцию как частичные дроби (а не в согласованном Z-преобразовании, как упомянуто Питером ) как

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

где некоторая постоянная и α m$C_m$$\alpha_m$ - полюса. Математически любая передаточная функция с числителем меньшей степени, чем знаменатель, может быть выражена как сумма частичных дробей . Только фильтры нижних частот удовлетворяют этому критерию (высокочастотные и полосовые / полосовые ограничения имеют, по крайней мере, одинаковую степень), и, следовательно, импульсно-инвариантный метод не может использоваться для разработки других фильтров.

Причина, по которой он терпит неудачу, также совершенно ясна. Если у вас был многочлен в числителе той же степени, что и в знаменателе, у вас будет свободностоящий постоянный член, который при обратном преобразовании даст дельта-функцию, которая не может быть выбрана.

Если вы выполните обратное преобразование Лапласа и прямое Z, вы увидите, что полюса преобразуются как $\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$ что означает, что если ваш аналоговый фильтр стабилен, цифровой фильтр также будет стабильным. Следовательно, он сохраняет стабильность фильтра.

Согласованное Z-преобразование

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$ ( сохранение стабильности), предоставление

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Вы можете легко увидеть ограничения обоих этих методов. Импульсный инвариант применим только в том случае, если ваш фильтр является низкочастотным, а метод согласованного z-преобразования применим к полосовым и полосовым фильтрам (и высокочастотным до частоты Найквиста). На практике они также ограничены частотой дискретизации (в конце концов, вы можете подняться только до определенной точки) и страдают от эффектов псевдонимов.

Билинейное преобразование на сегодняшний день является наиболее часто используемым методом на практике, и два вышеупомянутых метода в большей степени предназначены для академических интересов. Что касается преобразования обратно в аналоговый, извините, но я не знаю и не могу помочь, поскольку почти не использую аналоговые фильтры.

$s$$z$

Вот некоторые примеры:

Согласованное Z-преобразование

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

И преобразование каждой части расширения частичной дроби выполняется напрямую с использованием:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Правило Симпсона

Одна из интерпретаций билинейного преобразования состоит в том, что это способ преобразования из непрерывного в дискретное время путем приближенной интеграции с использованием правила трапеции .

Более точный метод приблизительной интеграции использует правило Симпсона. Если используется это приближение, то результирующее отображение:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$