Разница между дискретным временным преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье

22

Я прочитал много статей о DTFT и DFT, но не могу различить разницу между ними, за исключением нескольких видимых вещей, таких как DTFT идет до бесконечности, в то время как DFT только до N-1. Может кто-нибудь, пожалуйста, объясните разницу и когда использовать что? Вики говорит

ДПФ отличается от дискретного преобразования Фурье (ДПФ) тем, что его входные и выходные последовательности являются конечными; поэтому он называется фурье-анализом конечных (или периодических) функций с дискретным временем.

Это единственная разница?

Редактировать: эта статья хорошо объясняет разницу

BaluRaman
источник
4
DTFT является непрерывной функцией частоты, но DFT является дискретной функцией частоты.
Джон
Ключевой момент,DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
nmxprime
@nmxprime Вы имеете в виду, что DFT является выборочной версией DTFT?
Эндолит
1
@endolith Да. это
nmxprime
В статье, на которую вы ссылаетесь (стр. 2), говорится, что «CTFT дал нам дискретный частотный спектр». Разве это не так? Я думал, что частота была непрерывной в этом случае апериодического сигнала непрерывного времени, подвергающегося преобразованию Фурье.
Адитья П

Ответы:

14

Дискретное преобразование Фурье (DTFT) является (обычным) преобразованием Фурье сигнала с дискретным временем. Его выход является непрерывным по частоте и периодическим. Пример: чтобы найти спектр выборочной версии сигнала непрерывного времени можно использовать DTFT.х ( т )x(kT)x(t)

Дискретное преобразование Фурье (DFT) можно рассматривать как дискретизированную версию (в частотной области) выхода DTFT. Он используется для вычисления частотного спектра сигнала с дискретным временем с помощью компьютера, поскольку компьютеры могут обрабатывать только конечное число значений. Я бы поспорил против конечного вывода DFT. Он также является периодическим и поэтому может продолжаться бесконечно.

Подвести итог:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Математическое свойство ДПФ, что оба его входа и выхода являются периодическими с длиной ДПФ . То есть, хотя входной вектор для ДПФ на практике конечен, правильно будет сказать, что ДПФ является дискретизированным спектром, если вход ДПФ считается периодическим.N

Деве
источник
1
Вы не означает , что входной ДВПФ находится в конечной?
Лутц Леманн
@LutzL Да, это вообще может быть бесконечно. Я изменю это. Как насчет вывода DFT: вы бы предпочли назвать его конечным или периодическим ?
Деве
я думаю, что вывод DFT является N-периодической, конечной последовательностью
BaluRaman
1
В ДПФ многое зависит от интерпретации. С технической точки зрения оно превращается из конечного в конечное. С точки зрения того, что он вычисляет коэффициенты тригонометрического полинома, можно сказать, что он преобразует бесконечный дискретный периодический в конечный. Но можно сдвинуть окно частот, используемых для представления входа, и амплитуды по всем возможным частотам снова образуют периодическую последовательность.
Лутц Леманн
Чтобы быть более последовательным, я бы поставил «периодический» вместо «конечный» для ввода ДПФ. Это является прямым следствием того, что ДПФ (выход) является дискретным.
Мэтт Л.
18

Хорошо, я отвечу на это аргументом, который имеют «противники» моей жесткой нацистской позиции в отношении ДПФ.

Во- первых, моя жесткая, нацистская позиция : ряды ДПФ и Дискрета Фурье - одно и то же. DFT отображает одну бесконечную и периодическую последовательность с периодом во «временной» области в другую бесконечную и периодическую последовательность , опять же с периодом , в «частотную» область. и iDFT отображает его обратно. и они «инъективны» или «обратимы» или «один-к-одному».x[n]NX[k]N

DFT:

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N

iDFT:

x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

это наиболее фундаментально, что такое DFT. это по своей сути периодическая или круглая вещь.

но отрицатели периодичности хотели бы сказать это о ДПФ. это правда, это просто не меняет ничего из вышеперечисленного.

Итак, предположим, что у вас есть последовательность конечной длины длины и вместо того, чтобы периодически ее расширять (что и делает DFT), вы добавляете эту последовательность конечной длины с нулями бесконечно слева и справа. такx[n]N

x^[n]{x[n]for 0nN10otherwise

Теперь, это неповторяющаяся бесконечная последовательность делает иметь ДВПФ:

DTFT:

X^(ejω)=n=+x^[n]ejωn

X^(ejω) - это Z-преобразование вычисленное на единичной окружности для бесконечного множества вещественных значения . Теперь, если вам нужно будет сэмплировать этот DTFT в одинаково расположенных точках на единичной окружности, с одной точкой в , вы получитеx^[n]z=ejωωX^(ejω)Nz=ejω=1

X^(ejω)|ω=2πkN=n=+x^[n]ejωn|ω=2πkN=n=+x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x[n]ej2πkn/N=X[k]

именно так связаны DFT и DTFT. выборка DTFT с равными интервалами в «частотной» области приводит к тому, что во «временной» области исходная последовательность повторяется и сдвигается на все кратные и добавляется перекрытие. это то, что равномерная выборка в одном домене вызывает в другом домене. но, поскольку предполагается , что равно вне интервала , это добавление с перекрытием ничего не делает. он просто периодически расширяет ненулевую часть , нашей исходной последовательности конечной длины, .x^[n]Nx^[n]00nN1x^[n]x[n]

Роберт Бристоу-Джонсон
источник
3
Принятый ответ был хорошим, но я нашел ваш ответ более проницательным. Спасибо за предоставление фактической математической связи между DTFT и DFT ... особенно выборка спектров, вызывающих периодичность во временной области. Это момент, который я всегда забываю.
rayryeng - Восстановить Монику
Ваш второй абзац, кажется, подразумевает, что ДПФ принимают входные последовательности бесконечной длины. Кто-нибудь когда-нибудь выполнял ДПФ бесконечной длины?
Ричард Лайонс
Привет, Рик, рад видеть тебя здесь из comp.dsp . я помню, что @PeterK поприветствовал меня, когда я впервые перебрал Сорту (но я никогда не покину comp.dsp ). во всяком случае, в той же степени, в которой DFS принимает входную последовательность бесконечной длины, - это степень, в которой DFT принимает вход бесконечной длины. все, что я хочу сказать, это то, что DFT и DFS - это одно и то же.
Роберт Бристоу-Джонсон
1
@ Роберт Бристоу-Джонсон. это было прекрасное объяснение. Мой вопрос может быть плохим, но, с помощью дискретных рядов Фурье, вы имеете в виду случай, когда вход представляет собой непрерывную периодическую функцию, которая выполняется бесконечно в обоих направлениях, верно? Из того, что я помню, из чтения книги о доверии Георгия Силова, если вы сделаете число коэффициентов Фурье достаточно большим, используя достаточно тонкую сетку частот, то ряд Фурье может воспроизводить непрерывную функцию периода произвольно близко. это те fs, на которые вы ссылаетесь, когда вы говорите, что это то же самое, что и DFT, верно? Спасибо.
Марк Лидс
под дискретными рядами Фурье я имею в виду то же самое, что и определения DFT и iDFT, показанные в ответе: и для и для они являются периодическими с периодом : а - натуральное число. это все, что я имею в виду под DFS.
X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
x[n]X[k]N
x[n+N]=x[n]nZ
X[k+N]=X[k]kZ
N
Роберт Бристоу-Джонсон
1

Поскольку вывод DTFT является непрерывным, он не может быть обработан с помощью компьютеров. Таким образом, мы должны преобразовать этот непрерывный сигнал в дискретную форму. Это не что иное, как DFT как дальнейшее продвижение FFT для сокращения вычислений.

Гаурав Сингхал
источник
0

Если я прав, даже если ввод DFT является периодическим, хотя число выборок конечно, математика, стоящая за ним, рассматривает его как бесконечную последовательность, которая периодически начинает Nвыборки после ее завершения. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.

ubuntu_noob
источник
некоторые в comp.dsp , с которыми у меня были аргументы, могут «исправить» вас, но они не правы. нет разницы между ДПФ и дискретными рядами Фурье. никак нет.
Роберт Бристоу-Джонсон
Чтобы помочь мне понять, что здесь говорится, у меня есть вопрос относительно вывода операции, которую вы называете «Дискретный ряд Фурье». Это вывод последовательности чисел или непрерывной функции (уравнения)?
Ричард Лайонс
-1

ДПФ: ЕГО ОБРАТНО БУДЕТ: x [ n ] = 1

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
user25761
источник
1
Пожалуйста, используйте латексную разметку, чтобы ваша математика была читабельна, и объясните немного больше процесса, которым вы следовали, чтобы ваш ответ действительно помог ОП.
MBaz