Является ли негерметичный интегратор тем же, что и фильтр нижних частот?

Уравнение, определяющее негерметичный интегратор (по крайней мере, согласно Википедии)

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Является ли интегратор с утечкой непрерывного времени таким же, как фильтр нижних частот с постоянной времени , вплоть до некоторого масштабирования входа?$A$

Так называемый негерметичный интегратор - это фильтр первого порядка с обратной связью. Давайте найдем его передаточную функцию, предполагая, что на входе лежит а на выходе y ( t ) :$x(t)$$y(t)$

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

где обозначает применение преобразования Лапласа . Двигаться вперед:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(используя в своих интересах свойство преобразования Лапласа, что , предполагая, чтоy(0)=0).$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Эта система, с передаточной функцией , имеет один полюс при х = - . Помните, что его частотная характеристика на частоте ω может быть найдена, если положить s = j ω :$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Чтобы получить грубое представление об этом ответе, сначала пусть :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Таким образом , коэффициент усиления постоянного тока системы обратно пропорциональна фактору обратной . Далее, пусть w → ∞ :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

Частотная характеристика системы, следовательно, сводится к нулю для высоких частот. Это следует за грубым прототипом фильтра нижних частот. Чтобы ответить на ваш другой вопрос относительно его постоянной времени, стоит проверить ответ системы во временной области. Его импульсная характеристика может быть найдена путем обратного преобразования передаточной функции:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

где - шаговая функция Хевисайда . Это очень распространенное преобразование, которое часто можно найти в таблицах преобразований Лапласа . Этот импульсный отклик представляет собой функцию экспоненциального затухания , которая обычно записывается в следующем формате:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

где определяется как постоянная времени функции. Итак, в вашем примере системная постоянная времени равна τ = 1$\tau$.$\tau = \frac{1}{A}$

Частотная характеристика та же, да, но приложение другое:

• С фильтром нижних частот ваш сигнал находится в полосе пропускания. Частота среза фильтра установлена выше максимальной частоты, которую вы хотите сохранить в своем сигнале.
• С негерметичным интегратором ваш сигнал находится в полосе задержания. Частота среза фильтра установлена ниже самой низкой частоты в вашем сигнале.

Кроме того, интеграторы всегда первого порядка, в то время как фильтры нижних частот могут быть любого порядка.