Являются ли сложные экспоненты единственными собственными функциями систем LTI?

12

Существует ли пример собственной функции линейной инвариантной по времени (LTI) системы, которая не является комплексной экспоненциальной? Собственные функции Джастина Ромберга в LTI Systems говорят, что такие собственные функции существуют, но я не могу их найти.

linear-systems theory eigendecomposition Винод
источник

9

Все собственные функции системы LTI могут быть описаны в терминах комплексных экспонент, а комплексные экспоненты образуют полный базис сигнального пространства. Однако, если у вас есть система, которая является вырожденной , то есть у вас есть собственные подпространства размерности> 1, то все собственные векторы к соответствующему собственному значению являются линейной комбинацией векторов из подпространства. И линейные комбинации сложных экспонент разных частот больше не являются сложными экспонентами.

Очень простой пример: оператор тождества 1 как система LTI имеет все пространство сигналов как собственное подпространство с собственным значением 1. Это означает, что ВСЕ функции являются собственными функциями.

Jazzmaniac
источник

1

За исключением нулевой функции, конечно :) Просто шучу

Лоран Дюваль

1

Насколько мне известно, для любой произвольной системы LTI комплексная экспонента является единственным известным сигналом. С другой стороны, рассмотрим идеальный LPF. Функция : может легко рассматриваться как собственный сигнал. Это указывает на существование систем LTI (таких как идеальный ФНЧ), имеющих сигналы, отличные от комплексных экспонент, в качестве собственных сигналов ( в этом случае). $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

КСО
источник

2

Скорее наоборот: правило состоит в том, что системы LTI имеют вырожденные собственные подпространства и, следовательно, собственные векторы, которые не являются сложными экспонентами. Рассмотрим систему с реальным выходом. Тогда , что означает, что если является действительным и , то у вас уже есть двумерное собственное подпространство, а действительный синус является собственным вектором. Это означает, что любая система LTI, у которой есть фазовый отклик, который становится кратным для квалифицируется. Это скорее правило, чем исключение.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

Jazzmaniac

1

на самом деле любая чистая экспонента является собственной функцией системы LTI. если вы не против иметь дело с величинами, быстро приближающимися к , то нет теоретического требования, чтобы экспонента была сложной или действительной.

\infty

$\infty$

Роберт Бристоу-Джонсон

1

я знаю, что отредактировал ваш ответ (чтобы сделать его более понятным и правильным с помощью семантики), но ваш ответ ошибочен. является не общей собственной функции к общей системе LTI. она является собственной функцией конкретного LTIs , которые имеют , но не для других.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

Роберт Бристоу-Джонсон

1

очевидно, «если вы не против иметь дело с величинами, быстро приближающимися к ∞», это не то же самое, что «пространство сигналов, которое обычно рассматривается ... сфальсифицированное гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций». все, что я хочу сказать, это то, что если - ваш ввод, то - ваш вывод (где - Лаплас преобразование импульсного отклика LTI ). выглядит как собственная функция для меня. но ты прав насчет спецификации CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

Роберт Бристоу-Джонсон

1

@ Fat32, требующий хорошо функционирующего функционального пространства - это не стабильность, и он далеко не лишний и не произвольный. Большинство полезных результатов в теории обработки сигналов основаны на хорошо управляемых пространствах сигналов. Особенно полезна спектральная теорема ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), и эта теорема требует определенных функциональных пространств, из которых является возможным выбором. Если вы хотите применить эту математическую структуру (и, поверьте, вы хотите), то вы не можете принять сигналы, которые вы предлагаете в качестве собственных сигналов.

L^{2}

$L^2$

Jazzmaniac

0

Я думал, что четко сформулировал свой ответ - очевидно, нет :-). Первоначальный вопрос был: «Есть ли собственные сигналы помимо сложной экспоненты для системы LTI?». Ответ таков: если принять во внимание тот факт, что система является LTI, но больше ничего не известно, то единственным подтвержденным сигналом является комплексная экспонента. В определенных случаях система может иметь дополнительные собственные сигналы. Пример, который я привел, был идеальным LPF с sinc, являющимся таким собственным сигналом. Обратите внимание, что функция sinc не является собственным сигналом произвольной системы LTI. Я привел в качестве примера LPF и sinc, чтобы указать нетривиальный случай --- x (t) = y (t) удовлетворит математика, но не инженера: ->. Я уверен, что можно придумать другие конкретные нетривиальные примеры, которые имеют другие сигналы в качестве собственных сигналов, помимо сложной экспоненциальной.

Кроме того, cos и грех, как правило, не являются собственными сигналами. Если применяется cos (wt), а выходной сигнал равен A cos (wt + тета), то этот выходной сигнал не может быть выражен как постоянная, умноженная на вход (кроме случаев, когда тета равен 0, или pi, или A = 0), что является условием необходимо, чтобы сигнал был собственным сигналом. Могут быть условия, при которых cos и sin являются собственными сигналами, но это особые случаи, а не общие.

КСО

КСО
источник

Вы уверены, что поняли мой комментарий к другому ответу? Дело в том, что для реальных систем LTI ожидается, что реальный синус будет иметь собственный сигнал. Это не значит, что все синусы всех частот являются собственными сигналами. Я специально дал точное условие, для которого они таковы, и объяснил, почему это условие выполняется большинством систем LTI.

Jazzmaniac

Кроме того, не забывайте, что вы отредактировали свой ответ, чтобы немного изменить значение. Шаг от «Для рациональной передаточной функции нет других собственных сигналов» к «Для произвольных систем, кроме общих собственных сигналов нет.» Достаточно велик. Таким образом, высказывание, что люди не поняли ваш ответ правильно, немного.

Jazzmaniac

0

Возможно пространственно инвариантные многомерные объекты, такие как линзы с круговой симметрией. Это называется разложением Фурье-Бесселя. Для времени нет T, но соотношения частотной области свертки сохраняются

источник

Являются ли сложные экспоненты единственными собственными функциями систем LTI?

Ответы: