Что подразумевается под «импульсным откликом» системы и «частотным откликом»?

Кто-нибудь может заявить разницу между частотной характеристикой и импульсной характеристикой на простом английском языке?

Импульсная и частотная характеристика два атрибута, которые полезны для характеристики линейных стационарных (LTI) системы. Они предоставляют два разных способа расчета того, каким будет выход системы LTI для данного входного сигнала. Система LTI с непрерывным временем обычно иллюстрируется следующим образом:

$H$$x(t)$$y(t)$

• $x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• $x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Системы LTI с дискретным временем имеют одинаковые свойства; обозначения отличаются из-за разницы между дискретным и непрерывным, но они очень похожи. Эти характеристики позволяют легко охарактеризовать работу системы, используя ее импульсные и частотные характеристики. Они предоставляют две точки зрения на систему, которые могут использоваться в разных контекстах.

Импульсивный ответ:

$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

Почему это полезно? Это позволяет нам предсказать, как будет выглядеть вывод системы во временной области. Помните свойства линейности и неизменности времени, упомянутые выше? Если мы можем разложить входной сигнал системы на сумму компонентов, то выходной сигнал будет равен сумме выходов системы для каждого из этих компонентов. Что если бы мы могли разложить наш входной сигнал на сумму масштабированных и сдвинутых по времени импульсов? Тогда выходной сигнал будет равен сумме копий импульсного отклика, масштабированных и сдвинутых по времени таким же образом.

$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Для систем с непрерывным временем приведенная выше прямая декомпозиция невозможна в строгом математическом смысле (дельта Дирака имеет нулевую ширину и бесконечную высоту), но на инженерном уровне это приблизительный, интуитивно понятный способ взглянуть на проблему. Аналогичная теорема о свертке справедлива для этих систем:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

$h(t)$$L^2$$L^2$

Итак, для систем с дискретным и непрерывным временем импульсный отклик полезен, поскольку он позволяет нам рассчитать выходной сигнал этих систем для любого входного сигнала; выходной сигнал - просто входной сигнал, свернутый с функцией импульсного отклика.

Частотный отклик:

Частотная характеристика системы LTI обеспечивает аналогичную функцию: она позволяет рассчитать влияние, которое система будет оказывать на входной сигнал, за исключением того, что эти эффекты показаны в частотной области . Напомним определение преобразования Фурье :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Что еще более важно ради этой иллюстрации, посмотрите на ее обратную сторону:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$в вышеупомянутой линейной комбинации. Эти коэффициенты масштабирования, как правило, являются комплексными числами. Один из способов просмотра комплексных чисел - это формат амплитуды / фазы:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Вот где это становится лучше: экспоненциальные функции являются собственными функциями линейных инвариантных по времени систем. Идея в том, что, подобно собственным векторам в линейной алгебре, если вы поместите экспоненциальную функцию в систему LTI, вы получите ту же экспоненциальную функцию, масштабированную (обычно сложным) значением. Это приводит к изменению амплитуды и фазы экспоненциальной функции, которую вы вводите.

$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

Объединяя их:

Импульсная характеристика и частотная характеристика системы LTI тесно связаны между собой. Частотный отклик - это просто преобразование Фурье импульсного отклика системы (чтобы понять, почему выполняется это соотношение, см. Ответы на этот другой вопрос ). Итак, для системы с непрерывным временем:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Таким образом, учитывая либо импульсную реакцию системы, либо ее частотную характеристику, вы можете рассчитать другую. Любого из них достаточно, чтобы полностью охарактеризовать поведение системы; импульсная характеристика полезна при работе во временной области, а частотная характеристика полезна при анализе поведения в частотной области.

Один раз резко постучите по чему-нибудь и нарисуйте, как оно реагирует во временной области (как с помощью осциллографа или ручного плоттера). Это будет близко к импульсной реакции.

Получить генератор тона и вибрировать что-то с разными частотами. Некоторые резонансные частоты будут усиливаться. Другие могут не отвечать вообще. График размера и фазы отклика в зависимости от входной частоты. Это будет близко к частотной характеристике.

Для некоторых общих классов систем (где система не сильно меняется со временем, а любая нелинейность достаточно мала, чтобы ее можно было игнорировать для данной цели), эти два ответа связаны, и может быть применимо преобразование Лапласа или Фурье приблизить отношения.

Импульсный отклик - это отклик системы на один импульс бесконечно малой длительности и единичной энергии (импульс Дирака). Частотная характеристика показывает, насколько каждая частота ослаблена или усилена системой.

Частотная характеристика системы - это импульсная характеристика, преобразованная в частотную область. Если у вас есть импульсный отклик, вы можете использовать БПФ, чтобы найти частотный отклик, и вы можете использовать обратное БПФ, чтобы перейти от частотного отклика к импульсному отклику.

Вкратце, у нас есть два вида базовых ответов: временные и частотные . Временные характеристики проверяют, как система работает с кратковременными помехами, а частотная характеристика - с постоянными помехами. Временные отклики содержат такие вещи, как ответ шага, отклик линейного изменения и импульсный отклик . Частотные отклики содержат синусоидальные отклики .

У университета Аалто есть некоторый материал по курсу Mat-2.4129, здесь , скорее всего, файлы Matlab, потому что большинство материалов на финском языке. Если вас больше интересует, вы можете проверить видео ниже для ознакомительных видео. Я нашел их полезными для себя.

У меня есть только очень элементарные знания о проблемах LTI, поэтому я расскажу о них ниже - но, безусловно, есть гораздо больше разных видов проблем!

Ответы с линейными не зависящими от времени задачами

В задачах LTI (линейно-инвариантного времени) вход и выход должны иметь одинаковую форму: синусоидальный вход имеет синусоидальный выход и аналогично вводит результат ввода в пошаговый вывод. Если у вас нет системы LTI - скажем, у вас есть обратная связь или ваш контроль / шум и корреляция входа - тогда все вышеприведенные утверждения могут быть неверными. С LTI вы получите два типа изменений: сдвиг фазы и изменение амплитуды, но частота остается неизменной. Если вы нарушите некоторые предположения, скажем, с некорреляционным предположением, то вход и выход могут иметь очень разные формы.

Если вам необходимо выяснить, является ли система LTI или нет, вы можете использовать такие инструменты, как уравнение Винера-Хопфа и корреляционный анализ. Уравнение Винера-Хопфа используется с шумными системами. Важно проверять результаты и проверять предпосылки, в противном случае легко допустить ошибки с разными ответами. Подробнее об определении импульсного отклика с шумной системой здесь .

Рекомендации

1. Статья в Википедии о LTI здесь

2. Очень хорошее вступительное видео о различных ответах здесь и здесь - несколько ключевых моментов ниже.