Есть ли конечно-элементное программное обеспечение, которое обрабатывает более пяти измерений?

Я новичок в FE. Мое приложение - оценка финансовых производных, где пространство является пятимерным. Итак, добавляя время, проблема имеет шесть измерений.

Я пытался осмотреться (Fenics, escript, deal.II, ...), но, насколько я понимаю, эти программы ограничены 3 + 1 (трехмерное пространство + 1d время). Это правильно?

Мой целевой язык Python или C ++.

Описание моей проблемы
Я хотел бы оценить инвестиционный продукт, в котором каждый месяц инвестор имеет право реинвестировать или нет. Я хотел бы сделать это со стохастической волатильностью, стохастической процентной ставкой и стохастической смертностью.
Стохастические PDE выглядят следующим образом где - зависящая от времени константа, связанная с ценой акции , а μ S t SB S

$$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$$ $\mu^S_t$$S$$B^S_t$является самостоятельным процессом Леви , который создает шум в цене акций . Аналогично для других величин: является от времени величиной, связанной с волатильностью . Пусть обозначает допустимые вложения в момент времени . Стохастическая задача управления выглядит как Вышеуказанные PDE являются непрерывными, но значение произведения определяется только в заранее определенные значения times, скажем, каждый месяц.ν σ t σ C τ τ V τ = m a x { c ∈ C τ : P ( смерть ) E ( r τ f ( S τ + 1 ) ) + P ( a l i v e ) E ( r τ V τ + 1 ) } . V τ$S$$\nu^\sigma_t$$\sigma$
$C_\tau$$\tau$ $$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$$ $V_\tau$$\tau$

Я думаю, что Монте-Карло всегда может грубо заставить мою проблему, но это очень медленно.

Детерминированная форма стохастических PDE
Для этой части предположим, что значение опции определяется в естественное время , а не шрифт Times, с инвестиций в момент времени . Определите дифференциальный оператор где постоянная времениt τ c t t L

$$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$$ $t$$\tau$$c_t$$t$
$$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$$ $\{\mu^S_t,\ldots\}$игнорируются В этом случае детерминированный PDE имеет который можно адаптировать к задаче оптимального управления в times , $$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$$ $\tau$

Предполагая, что вы хотите решить уравнения Блэка-Шоулза или вариант для портфеля из 5 активов, тогда у вас действительно есть 5 пространственных и одно временное измерение. Я не знаю ни одного пакета FEM, который мог бы сделать это из головы (сделка. Я не могу с готовностью сделать это, но смотри ниже), но я думаю, что я помню, что некоторые люди из группы Криса Шваба в ETH Zurich решили такие проблемы с использованием разреженных сеток. Вам может повезти, просматривая его публикации.

Есть и другие уравнения, которые имеют дополнительные измерения. Одним из примеров является уравнение переноса излучения, которое имеет 3 пространственных + 1 временных + 2 угловых + 1 энергетическое измерение. Способ, который обычно решается, состоит в том, чтобы как обычно дискретизировать трехмерное пространство, затем дискретизировать угловые и энергетические измерения в отдельных 2-х и 1-мерных сетках, и в каждой узловой точке пространственной сетки просто есть много переменных (по одной для каждого каждый узел угловой сетки умножается на количество узлов в энергетической сетке). Мы используем эту схему в реализациях deal.II успешно. Это имеет смысл для уравнения переноса излучения, и оно может быть эмулировано для вашего уравнения, даже если оно не является естественным.

DUNE, распределенная и унифицированная числовая среда http://www.dune-project.org , содержит некоторые структурированные сетки произвольного измерения (SGrid и Yaspgrid), см . Функции DUNE . В настоящее время существует ветка, которая превращает yaspgrid, одну из вышеупомянутых сеток, в тензорную сетку продуктов, если это представляет интерес. Начиная с версии 2.0 (текущая версия 2.2.1 и 2.3 скоро появятся) у нас есть справочные элементы для различных методов конечных элементов, которые поддерживают произвольные измерения. Следовательно, должна быть возможность настроить дискретизацию конечных элементов произвольной размерности, например, с помощью модуля дискретизации dune-pdelab . Хотя это не может быть проверено часто.

Сказав это, все еще есть проклятие размерности, как указал Вольфганг.

Для получения дополнительной информации я отсылаю вас к спискам рассылки DUNE .

Итак, похоже, что у вас есть связанный набор ODE, поскольку, насколько я могу судить, существуют только производные по времени и никаких производных по чему-либо еще. Существует немало пакетов для решения систем ОДУ произвольной размерности (в Matlab есть что-то вроде ode45). Для Python, посмотрите на этот вопрос для некоторых предложений. Наконец, в netlib есть старый код на Фортране, который можно довольно легко связать с C ++ (другое дело в простоте использования). Вероятно, есть лучшие альтернативы, так как прошло много времени с тех пор, как я посмотрел (другие должны вмешаться).