Использование итерации с фиксированной точкой для отделения системы pde

Предположим, у меня была краевая задача:

$$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$$ $$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$$ $$u=h \text{ in } \partial\Omega$$

Моя цель состоит в том, чтобы разложить решение этой связанной проблемы в последовательность несвязанных PDE. Чтобы отделить систему, я применяю итерацию с фиксированной точкой по последовательности приближений $(u^k,v^k)$ такой что

$$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$$ $$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$$

Теоретически это позволило бы мне решать оба уравнения как чисто эллиптические уравнения в частных производных. Тем не менее, я никогда не видел итераций с фиксированной точкой, применяемых таким образом к PDE. Я видел итерации с фиксированной запятой, применяемые к численно дискретизированным уравнениям (метод конечных разностей, метод конечных элементов и т. Д.), Но никогда напрямую к непрерывным уравнениям.

Я нарушаю какой-либо вопиющий математический принцип, делая это? Это математически верно? Могу ли я решить связанный PDE как последовательность несвязанных PDE, используя итерацию с фиксированной точкой, примененную к проблеме НЕПРЕРЫВНОЙ переменной, а не к проблеме переменной DISCRETE?

На данный момент меня не очень интересует вопрос о целесообразности использования этого метода, а скорее о том, насколько он теоретически правдоподобен. Любая обратная связь будет принята с благодарностью!

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

$$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\ $$ (плюс граничные условия).

Понятно, что если эта последовательность сходится, это будет решением вашего исходного набора PDE.

$x^k\to x^{k+1}$$u^0$$v^0$

$$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$$ $|q|<1$$(u^{k-1}, v^{k-1})$$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Эта логика работает как в непрерывном, так и в дискретном пространстве.