Связи между дифференциальными формами и методом конечных объемов второго порядка

10

Читая сегодня о теории дифференциальных форм, я был поражен тем, насколько это напомнило мне метод конечных объемов второго порядка (FVM).

Я изо всех сил пытаюсь понять, думает ли это просто тривиально или есть какая-то более глубокая связь.

Ну, дифференциальные формы служат для обобщения некоторых концепций, глубоко укоренившихся в FVM второго порядка, таких как поток жидкости через поверхность, и мы все о потоках в FVM. Тогда интегральная теорема (по Стоксу) является одним из центральных объектов в теории дифференциальных форм. Это доказательство включает в себя интегрирование дифференциальных форм на многообразии, где появляются симплексы (треугольники, тетраэдры и т. Д.). Манифольд на самом деле тесселяции аналогично, мы представляем гладкую форму, по которой жидкость проходит через ячейки с прямыми краями.

Это лишь некоторые из похожих вещей. Дело в том, что чтение о дифференциальных формах лишило меня возможности перестать думать о FVM.

Действительно ли метод конечных объемов второго порядка представляет собой вычислительное проявление теории дифференциальных форм?

Johntra Volta
источник
5
Ваши мысли совпадают с некоторыми работами Э. Тонти, посмотрите его страницу «Дискретная физика», а также попробуйте поискать «миметическую дискретизацию».
Стефано М
1
Я помню, что видел нечто, называемое «дискретными дифференциальными формами», которое, возможно, связано с этим. Я думаю, что его основное использование в вычислительной геометрии, но видел некоторые применения в моделировании. Google даст вам несколько идей.
Reid.Atcheson
1
@Reid - Это приводит меня, среди прочего, к работам Десбруна - автора, о котором я узнал ранее днем ​​- очень интересно!
Johntra Volta

Ответы:

1

kkdx01x2dxx20

Теорема Стокса обобщает многие тождества, с которыми вы знакомы по векторному исчислению, такие как теорема расходимости. Эти тождества применяются к интегральным законам сохранения для вычисления потоков через границы в методах конечных объемов, поэтому, как вы подозреваете, нужно уметь писать все в терминах дифференциальных форм.

Патрик Санан
источник
1

Дифференциально-геометрические методы используются в формулировках / понимании методов конечных элементов (-объема).

Смотрите здесь и здесь

Виджай Мурти
источник