Недостатки общих схем дискретизации для моделирования CFD

На днях мой инструктор по вычислительной гидродинамике отсутствовал, и он послал своего кандидата в доктора наук, чтобы заменить его. В своей лекции он, казалось, указал на несколько недостатков, связанных с различными схемами дискретизации для моделирования потока жидкости:

Метод конечных разностей: трудно удовлетворить сохранение и применить для неправильной геометрии

Метод конечных объемов: он имеет тенденцию быть смещенным к краям и одномерной физике.

Метод конечных элементов: Сложно решать гиперболические уравнения, используя FEM.

Прерывистый Галеркин: Это лучший (и худший) из всех миров.

Колебания флуктуации: они еще не получили широкого применения.

После лекции я попытался спросить его, откуда он взял эту информацию, но он не указал ни одного источника. Я также пытался заставить его уточнить, что он имел в виду, когда Д.Г. был «лучшим и худшим из всех миров», но не смог получить четкого ответа. Я могу только предположить, что он пришел к этим выводам из собственного опыта.

Исходя из собственного опыта, я могу только подтвердить первое утверждение, что FDM трудно применить к неправильной геометрии. По всем остальным претензиям у меня недостаточно опыта, чтобы их проверить. Мне любопытно, насколько точны эти заявленные «недостатки» для моделирования CFD в целом.

Предложенные характеристики являются разумными в том смысле, что они приблизительно представляют общественное мнение. Этот вопрос имеет огромный охват, поэтому сейчас я просто сделаю несколько замечаний. Я могу уточнить в ответ на комментарии. Более подробное обсуждение см. В разделе « Какие критерии выбрать между конечными отличиями и конечными элементами»?

• Консервативные методы конечных разностей низкого порядка легко доступны для неструктурированных сеток. Не колебательные методы FD высокого порядка - другое дело. В конечно-разностных схемах WENO физика проявляется в расщеплении потока, которое доступно не всем решателям Римана.

• Методы конечного объема отлично работают в нескольких измерениях, но для того, чтобы перейти выше второго порядка для общих структур потока, вам нужны дополнительные грани квадратной точки и / или поперечные римановы решения, что значительно увеличивает стоимость по сравнению с методами FD. Однако эти методы FV могут быть применены к негладким и неструктурированным сеткам и могут использовать произвольные решатели Римана.

• Непрерывные методы конечных элементов могут использоваться для CFD, но стабилизация становится деликатной. Обычно нецелесообразно использовать строго не колебательные методы, а для стабилизации часто требуется дополнительная информация, такая как энтропия. Когда используется согласованная матрица масс, явный шаг по времени становится намного дороже. Непрерывные методы Галеркина не являются локально консервативными, что вызывает проблемы при сильных ударах. См. Также Почему локальное сохранение важно при решении PDE?

• Прерывистые методы Галеркина могут использовать любой решатель Римана для соединения элементов. Им присущи лучшие свойства нелинейной устойчивости, чем у других распространенных методов. DG также довольно сложен в реализации и обычно не монотонен внутри элемента. Существуют лимитеры для DG, которые обеспечивают позитивность или принцип максимума.

• Существуют и другие методы, такие как спектральная разница (например, Wang et al 2007 или Liang et al 2009 ), которые потенциально могут быть очень эффективными (например, конечная разница), но при этом имеют большую геометрическую гибкость и высокую точность порядка.

Потоки с высокими числами Рейнольдса имеют тонкие пограничные слои, требующие высокоанизотропных элементов для эффективного решения. Для несжимаемых или почти несжимаемых элементов это вызывает значительные проблемы для многих дискретизаций. Для дополнительного обсуждения, в основном с точки зрения методов конечных элементов, см. Какие пространственные дискретизации работают для несжимаемого потока с анизотропными граничными сетками?

Для устойчивых задач привлекательна возможность эффективно использовать нелинейную многосетку (FAS). Методы FD, FV и DG обычно могут эффективно использовать FAS, потому что, грубо говоря,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Это соотношение часто превышает 10 для непрерывных методов конечных элементов. Однако это соотношение недостаточно для эффективного FAS с точечным или поэлементным сглаживанием. Также необходимо иметь -эллиптическую дискретизацию, чтобы использовать ее для исправления дефектов или иным образом модифицировать многосеточный цикл. Для дальнейшего обсуждения см. Есть ли многосеточный алгоритм, который решает задачи Неймана и имеет скорость сходимости, не зависящую от количества уровней? Положительный ответ на этот вопрос исследования потенциально может предложить эффективную FAS для непрерывных конечных элементов.$h$

Короче говоря, DG:

Следствием ослабления требований непрерывности через границы элементов является то, что число переменных в DG-FEM больше, чем для непрерывного аналога для того же числа элементов.

С другой стороны, из-за локальной формулировки (с точки зрения элементов) у нас есть следующие преимущества:

• Нестационарные и исходные термины полностью отделены между элементами. Массовые матрицы могут быть инвертированы на уровне элементов.
• Упрощенное распараллеливание.
• Адаптивные уточнения (h-, p- и hp) выполняются легко - нет необходимости в глобальном перенумерации узлов.