Какие методы могут гарантировать, что физические величины остаются положительными в течение моделирования PDE?

Физические величины, такие как давление, плотность, энергия, температура и концентрация, всегда должны быть положительными, но численные методы иногда вычисляют отрицательные значения во время процесса решения. Это не хорошо, потому что уравнения будут вычислять сложные или бесконечные значения (как правило, сбой кода). Какие численные методы могут быть использованы для гарантии того, что эти величины остаются положительными? Какой из этих методов наиболее эффективен?

Самый распространенный метод - сбросить отрицательные значения до небольшого положительного числа. Конечно, это не математически обоснованное решение. Лучший общий подход, который может работать и который прост, - это уменьшить размер вашего временного шага.

Отрицательные значения часто возникают в решении гиперболических PDE, потому что появление шоков может привести к колебаниям, которые будут иметь тенденцию создавать отрицательные значения, если вблизи шока есть состояния, близкие к вакууму. Использование метода полного уменьшения вариации (TVD) или другого не колебательного ( ENO, WENO ) метода может уменьшить эту тенденцию. Эти методы основаны на использовании нелинейных ограничителей для вычисления производных решения. Тем не менее, вы все равно можете получить отрицательные значения по нескольким причинам:

• Если вы используете метод линий и применяете интегратор времени высокого порядка. Большинство схем TVD доказуемо TVD только в полудискретном смысле или по методу Эйлера. Для интеграции времени более высокого порядка следует использовать дискретизацию времени с сохранением стабильности (SSP) ; эти схемы также известны как «сжимающие» или «сохраняющие монотонность». По этой теме недавно вышла книга Сигала Готтлиба, Чи-Ван Шу и меня.
• Если вы не используете локальное разложение характеристик для систем уравнений, ваше решение не будет TVD (схемы TVD обладают этим свойством только для скалярных задач). Поэтому лучше всего реконструировать / интерполировать по характерным переменным.
• Если у вас есть нелинейная система, отрицательные значения могут возникнуть, даже если вы используете разложение локальной характеристики. Например, любой линеаризованный решатель Римана (такой как решатель Роу) для уравнений мелкой воды или уравнений Эйлера может показать отрицательные значения в достаточно сложных условиях. Решение состоит в том, чтобы использовать решатель HLL (или вариант HLL); некоторые из них доказуемо позитивны.
• Схемы TVD только второго порядка; Не колебательные схемы более высокого порядка, такие как WENO, не полностью соответствуют принципам TVD или максимума. Но новая модификация этих схем высокого порядка делает; это разработано в нескольких недавних работах Xiangxiong Zhang (ученик Chi-Wang Shu).

Есть, конечно, много других специализированных подходов к конкретным уравнениям, например, в коде Джека Джорджа GeoClaw, который использует решатель Римана с дополнительными нефизическими волнами для обеспечения позитивности.

Предполагая, что мы решаем гиперболические уравнения без каких-либо исходных терминов, и предположим, что мы предоставляем физические начальные условия, убедившись, что используемая нами числовая схема - Total Variation Dimining, является хорошим способом обеспечения «физичности» вычисленного решения. Поскольку схема TVD сохраняет монотонность, новые минимумы или максимумы не будут создаваться, и решение будет оставаться ограниченным начальными значениями, которые мы надеемся установить правильно. Конечно, проблема в том, что схемы TVD не самые очевидные. Среди линейных схем только схемы первого порядка являются TVD (Годунов, 1954). Таким образом, начиная с 50-х годов, были разработаны различные нелинейные схемы TVD, чтобы объединить высокую точность и монотонность для решения гиперболических уравнений.

Для моих приложений, решая уравнения Навье-Стокса с большими градиентами давления / плотности, мы используем гибридную MUSCL -центральную схему для захвата больших градиентов / разрывов и сохранения хорошей точности от них. Первая схема MUSCL (MUSCL обозначает Monotone Upstream-центрированные схемы для законов сохранения) была разработана Van Leer в 1979 году.

Если вы хотите узнать больше об этом предмете, пожалуйста, обратитесь к работам Хартена, Ван Лира, Лакса, Сода и Торо.

Приведенные выше ответы относятся к задачам, зависящим от времени, но вы также можете потребовать положительности в простом эллиптическом уравнении. В этом случае вы могли бы сформулировать это как вариационное неравенство , давая оценки для переменных.

В PETSc есть два решателя VI. Каждый использует метод уменьшенного пространства, где переменные в активных ограничениях удаляются из системы, которая будет решена. Другой использует полугладкий метод Ньютона .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Обычно схемы дискретизации, которые приводят к М-матрице, называют монотонными схемами, и это те схемы, которые сохраняют неотрицательность.