Я знаю, что большинство методов поиска приближенных решений для PDE плохо масштабируются в зависимости от количества измерений, и что метод Монте-Карло используется для ситуаций, требующих ~ 100 измерений.
Каковы хорошие методы для эффективного численного решения PDE в ~ 4-10 измерений? 10-100?
Есть ли какие-либо методы, кроме Монте-Карло, которые хорошо масштабируются в зависимости от количества измерений?
Ответы:
Более структурированный способ предоставления основы или квадратуры (которая может заменить MC во многих случаях) в нескольких измерениях - это метод разреженных сеток , который объединяет некоторое семейство одномерных правил различного порядка таким образом, чтобы иметь просто экспоненциальный рост в измерение, , вместо того, чтобы иметь это измерение, является показателем разрешения N d .2d Nd
Это делается с помощью так называемой квадратуры Смоляка, которая объединяет ряд одномерных правил видеQ1l
Это эквивалентно квадратурному пространству тензорного произведения с высокими смешанными порядками, удаленными из пространства. Если это делается достаточно серьезным образом, сложность может быть значительно улучшена. Однако для того, чтобы можно было сделать это и поддерживать хорошее приближение, регулярность решения должна иметь достаточно исчезающие смешанные производные.
Разреженные сетки были забиты до смерти группой Грибеля за такие вещи, как уравнение Шредингера в конфигурационном пространстве и другие высокомерные вещи с довольно хорошими результатами. В приложении используемые базовые функции могут быть довольно общими, если вы можете их вкладывать. Например, плоские волны или иерархические основы являются общими.
Также довольно просто кодировать себя. По моему опыту, на самом деле заставить его работать на эти проблемы, однако, очень сложно. Хороший учебник существует.
Для задач, решения которых живут в специализированных пространствах Соболева с быстро растекающимися производными, подход с разреженной сеткой потенциально может дать еще большие результаты .
См. Также обзорный документ Acta Numerica, Редкие тензорные дискретизации многомерных параметрических и стохастических уравнений в частных производных .
источник
Как правило, легко понять, почему регулярные сетки не могут выходить далеко за рамки 3-х или 4-мерных задач: в d-измерениях, если вы хотите иметь минимум N точек на направление координат, вы получите N ^ d очки в целом. Даже для относительно хороших функций в 1d вам нужно как минимум N = 10 точек сетки, чтобы разрешить их вообще, поэтому общее количество точек будет 10 ^ d, т.е. даже на самых больших компьютерах вы вряд ли выйдете за пределы d = 9, и, вероятно , не идти далеко за пределы когда - либо . Разреженные сетки могут помочь в некоторых случаях, если функция решения имеет определенные свойства, но в целом вам придется смириться с последствиями проклятия размерности и использовать методы MCMC.
источник
источник