Какие методы интегрирования по времени мы должны использовать для гиперболических PDE?

Если мы используем метод линий для дискретизации (раздельной дискретизации времени и пространства) гиперболических PDE, которые мы получаем после пространственной дискретизации с помощью нашего любимого численного метода (например, метод конечных объемов), имеет ли на практике значение, какой решатель ODE мы используем для временной дискретизации (ТВД / SSP / и т.д.)?

Добавлена ​​некоторая дополнительная информация: Проблема точности может быть проблемой для не гладких задач. Общеизвестно, что нелинейные гиперболические PDE могут создавать шоки за конечное время, несмотря на то, что начальное решение является гладким, и в этом случае точность может снизиться до первого порядка для методов высокого порядка.

Анализ устойчивости ОДУ обычно проводится на основе линеаризации для получения линейной полудискретной системы ОДУ вида q_t = J q (с вектором возмущений qa), где собственные значения J должны масштабироваться в области абсолютной устойчивости выбранного времени. метод степпинга. Альтернативными стратегиями является использование псевдоспектра или, возможно, энергетического метода для анализа устойчивости.

Я понимаю, что мотивация для методов TVD / SSP состоит в том, чтобы избежать паразитных колебаний, вызванных методами временного шага, которые могут привести к нефизическому поведению. Вопрос заключается в том, показывает ли опыт, что эти типы методов постепенного изменения времени лучше, чем, например, классическая рабочая лошадь в виде явного метода Рунге-Кутты или другие. Очевидно, что они должны обладать лучшими свойствами для классов задач, где решение может демонстрировать шоки. Поэтому можно утверждать, что мы должны использовать только эти типы методов для интеграции времени.

Я не знаю, если вы все еще заинтересованы в ответе, но я все равно пойду:

Вы уже сказали, что знаете о формировании удара в нелинейных уравнениях. Именно поэтому вы должны тщательно выбирать интегратора времени. Бесполезно применять пространственную дискретизацию TVD, когда дискретизация по времени отсутствует - вы увидите те же самые колебания, которые вы, вероятно, видели с числовыми потоками более высокого порядка.

Все сводится к тому, что вперед работает Эйлер. Вы уже упоминали SSP (сохранение стабильности) в своем вопросе. Это специальный класс методов Рунге-Кутты, который использует это. По сути, вы должны выбрать коэффициенты метода таким образом, чтобы его можно было записать как выпуклую комбинацию шагов Эйлера. Таким образом, свойства, такие как TVD и тому подобное, будут сохранены.

Gottlieb, Ketcheson и Shu опубликовали очень хорошую книгу о методах SSP под названием «Дискретизация Рунге-Кутты и многошаговая временная дискретизация с сохранением стабильности» amazon link

Да, это важно Обычные две вещи, о которых нужно беспокоиться:

1. Точность. Некоторые схемы ODE более точны, чем другие, более высокого порядка и т. Д. Основное правило - выбирать метод с порядком точности, аналогичным пространственной дискретизации.

2. Стабильность. Для гиперболических задач вы ожидаете, что у оператора будут чисто мнимые собственные значения, поэтому вам нужен решатель ODE, который включает некоторую часть мнимого доступа в своей области устойчивости. См., Например, Приложение G в Fornberg, Практическое руководство по псевдоспектральным методам.

С помощью гиперболических уравнений некоторые люди хотят быть уверенными в том, что их решения всегда положительны, поэтому для обеспечения этого существуют различные виды фильтров и приемов. Но я почти ничего не знаю об этом.

Я далеко не эксперт, но подумал, что постараюсь ответить, так как вопрос уже давно здесь.