Как построить хорошо сбалансированный конечный объем и разрывные методы Галеркина для гиперболических уравнений в частных производных?

Исходные термины, например, из-за батиметрии в уравнениях мелкой воды, должны быть интегрированы особым образом для сохранения физических устойчивых состояний. Есть ли общий способ построения хорошо сбалансированных методов, или он требует специальных методов для каждого уравнения?

Короткий ответ: это требует конкретной работы для различных уравнений, но есть некоторые общие методы, которые предлагают, как это сделать. По сути, учитывая эволюцию PDE первого порядка

$$u_t = Au + Bu$$

где - некоторые (возможно, дифференциальные) операторы, стационарные состояния - те, для которых$A,B$

$$Au + Bu=0.$$

$A$$B$$A$$B$

Один подход, который мне нравится, - это использование решателей Римана с f-волнами, предложенное Bale et. и др. , Идея состоит в том, чтобы дискретизировать конвективные члены с помощью метода типа Годунова, но вычесть вклад из других членов внутри решателя Римана. Тогда в случае установившегося состояния волны не генерируются. Однако для этого необходимо, чтобы конвективные и исходные члены были точно рассчитаны (чтобы точно отменить). Это возможно для уравнений мелкой воды, но сложнее для многих других систем.