Альтернативы анализу устойчивости по Нейману для конечно-разностных методов

Я работаю над решением связанных одномерных уравнений пороупругости (модель Био), заданных как:

$$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$$ $$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$$ в области$\Omega=(0,1)$и с граничными условиями:

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$при$x=0$и$u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$при$x=1$.

Я дискретизировал эти уравнения, используя центрированную конечно-разностную схему:

γp t + 1 i -p t

$$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$$ $$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$$

В настоящее время я прорабатываю детали сближения схемы, анализируя ее последовательность и стабильность. Часть согласованности кажется мне довольно простой, но я уже предвижу некоторые трудности с анализом стабильности. Прежде всего, есть две переменные и два уравнения. Во-вторых, во втором уравнении также есть смешанный пространственно-временной производный член. Я знаком с анализом устойчивости фон Неймана и вижу, что с помощью этого метода будет очень трудно установить стабильность. Есть ли альтернативы анализу фон Неймана, которые я могу использовать?

Если заменить, по крайней мере , для анализа, $\frac{\partial u}{\partial x}$$u_x$

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$$ $1$${}_h$$\frac{d}{dt}$

Теперь дифференциально-алгебраическая (DAE) структура очевидна. Для переменных существуют как дифференциальные (по времени), так и алгебраические уравнения.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

При таком подходе вы можете обойти анализ стабильности.

Для прямого доказательства $L^2$$(*)$$\Delta_h$$\partial_h$

Однако , если стабильность не может быть установлена ​​для$(*)$, это не означает, что ваша схема не сходится - из-за замены $u\leftarrow u_x$, Вообще говоря, можно ожидать устойчивости для схем, аппроксимирующих реальные переменные, а не для схем, аппроксимирующих их производные.

APPENDIX: A DAE is said to be index 1, if it can be transformed into an ODE without differentiating the equations.

Say, the DAE is of the form

$$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$$ Then invertibility of $\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$ implies, that there is a variable transform $\tilde y \to y$ that eventually swaps the columns of the coefficients so that $\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$ with $\tilde A_{22}$ invertible (full rank property of $A_2$) and $\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$ invertible (the Schur complement).

For the system $(*)$ this means that the algebraic part defined with $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ can be used to solve for a part $\tilde y_2$ of $(p_h,u_{x,h})$. Then, one can eliminate $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ from the differential part (the second block line in $(*)$), to obtain an ODE for the remaining variables.

I am not familiar with the equations given here, but I remember learning another method for checking the stability of a numerical scheme in my coursework. It is known as Modified Equation analysis.

Here is a good reference for that,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

In the above reference, the connection between stability theory based on Modified Equation analysis and Von Neumann stability analysis is established.

After a bit of online search, I came across following references,

This paper discusses Finite difference modeling of Biot's poroelastic equations at seismic frequencies. It has a section on stability of numerical scheme as well.

This paper presents a solution strategy of decoupling the coupled system, and checking the stability of numerical scheme.