Матричная экспонента гамильтоновой матрицы

Пусть - вещественные квадратные плотные матрицы. и симметричны. Позволять $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

быть гамильтоновой матрицей. Я хочу , чтобы вычислить матрицу экспоненту . Мне нужна полная матричная экспонента, , а не только произведение матрицы на вектор. Существуют ли какие-либо специализированные алгоритмы или библиотеки для вычисления экспоненты гамильтоновой матрицы? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix Макс Бер
источник

Вы хотите саму матричную экспоненту, или вы действительно просто хотите решить ODE ?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

Даниэль Шаперо

Мне нужна сама матрица экспоненциальная. Но то же самое я могу решить ОДУ .

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

Макс Бер

Собственные структуры Беннера, сохраняющие структуру, могут иметь дело с преобразованием подобия для упрощения матричного экспоненциального вычисления.

перкуссия

@RichardZhang Жестокий путь - разложение QZ. Проверьте, например, начиная с link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 для получения более подробной информации.

перкуссия

В статье « 19 сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, 25 лет спустя» освещается много плохих (и несколько хороших) способов вычисления матрицы экспоненциальных. Это не характерно для гамильтоновых задач, но, тем не менее, действительно ценно, если вы работаете над проблемами такого рода.

Даниэль Шаперо

Ответы:

Очень быстрый ответ ...

Экспонента гамильтоновой матрицы является симплектической, свойство, которое вы, вероятно, хотели бы сохранить, в противном случае вы просто использовали бы метод, не сохраняющий структуру. Действительно, в использовании структурированного метода нет реального преимущества в скорости, только сохранение структуры.

Возможный способ решения вашей проблемы заключается в следующем. Сначала найдите симплектическую матрицу, такую что является гамильтоновым и блочным верхним треугольником, а имеет собственные значения в левой полуплоскости. Вы можете получить эту матрицу, например, взяв , где решает уравнение Риккати, связанное с , или (более устойчиво, поскольку оно ортогонально), переупорядочив разложение Шура из и применяя трик Лауб (то есть, заменяя унитарный фактор Шура с $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$ ). У вас могут возникнуть проблемы, если у гамильтониана есть собственные значения на мнимой оси, но это длинная история, и пока я полагаю, что это не произойдет в вашей проблеме.

Если у вас есть , у вас есть , и вы можете вычислить где решает определенное уравнение Ляпунова, я полагаю, что-то вроде (знаки могут быть неправильными; накладывать и разверните блоки, чтобы получить правильное уравнение. Найдите «метод Шура-Парлетта» для ссылки на этот трюк). $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

Тогда три фактора являются точно симплектическими. Просто используйте их отдельно: не рассчитывайте продукт, иначе вы потеряете это свойство в числовом выражении.

Федерико Полони
источник

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$ и получить , который является диагональю блоков с и качестве блоков

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

Макс Бер

Возможно, у вас есть возможность использовать иерархические матрицы ( -матрицы) и соответствующие функции библиотек, которые их поддерживают. $\mathcal H$

Фактически, если каждая матрица , и хорошо и эффективно представлена в формате -матрицы, то блочная гамильтонова матрица фактически является блочной -матрицей. Вопрос о представлении , и в иерархической форме сводится к их происхождению: если в них можно найти низкоранговые структуры (применяются возможные перестановки индексов строк / столбцов), то этот подход является жизнеспособным. Правдоподобный пример был бы, если , и $A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ приходят из интегрального уравнения, которое также объяснит их плотную структуру и потенциал для сжатия (в зависимости от ядра).

Формальное требование, чтобы этот метод работал, будет, если $(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

Недостатки этого подхода:

$A$ $G$ $Q$
не использует гамильтонову структуру

Положительных:

сжатое представление матрицы экспоненциально, хотя это все еще матрица, а не просто способ сделать MVP
линейно-логарифмическая сложность (при условии, что существует низкое предположение)
библиотека может использовать преимущества транспонирования и симметрии в блоках

Антон Меньшов
источник