Условие КЛЛ в разрывных схемах Галеркина

9

Я реализовал ADER-разрывную схему Галеркина для разрешения линейных систем законов сохранения типа и заметил, что условие КЛЛ является очень ограничительным. В библиографии можно найти верхнюю границу для временного шага , где - размер ячейки, - число размеры и - максимальная степень многочленов.tU+AxU+ByU=0Δthd(2N+1)λmaxhdN

Есть ли способ обойти эту проблему? Я работал со схемами конечного объема WENO-ADER, и ограничения КЛЛ были намного более смягчены. Например, для схемы 5-го порядка должен использоваться CFL ниже 0,04 при использовании DG, в то время как CFL = 0,4 все еще может использоваться в схеме WENO-ADER FV.

Зачем использовать схемы DG, а не ADER-FV, например, в вычислительной аэроакустике (линеаризованные уравнения Эйлера) или аналогичные приложения (газовая динамика, мелководье, магнитная гидродинамика)? Является ли общая вычислительная стоимость схемы аналогичной стоимости ADER-FV, несмотря на гораздо меньший временной шаг?

Мысли и предложения по этому поводу приветствуются.

Adr
источник

Ответы:

6

Ограничительные CFL схем DG обычно происходят из комбинации высокой точности порядка и компактного трафарета (см. Эту ссылку, например). КЛЛ зависит от ограничения вариационной формы через норму решения, которая зависит от производной и следов многочленов. Границы для каждой из этих величин (используя неравенства братьев Бернштейна или Маркова и неравенства дискретных следов) дают константы, которые обратно пропорционально зависят от и квадратично от порядка , в результате чего общий КЛЛ равен .L2hNO(h/N2)

К вашему сведению - я видел КЛЛ, о котором вы упоминали ранее, но я не могу вспомнить, где это доказано. Я хотел бы знать, как они избегают квадратичной зависимости от в своих границах.N

Конечно-разностные и WENO-схемы (а также методы конечных элементов на основе B-сплайнов на периодических сетках) имеют более слабые условия КЛЛ, поскольку константы в аналогичных границах растут в медленнее . Это в свою очередь потому, что размер трафарета имеет тенденцию к увеличению с порядком , что уменьшает некоторые из этих проблем.NN

Методы DG более дороги, но они могут легко справляться с неструктурированными сетками и могут быть эффективно реализованы. Существуют версии WENO высокого уровня (или аналогичные реконструкции) для неструктурированных сеток, хотя они могут вводить дополнительные математические или практические сложности.

Джесси Чан
источник
Большое спасибо за ваш подробный ответ Джесси, он дал мне более широкое представление по этому вопросу. В моих численных испытаниях с DG-ADER я заметил, что при использовании структурированных четырехугольных сеток (с произвольной четырехугольной формой, например, квадратов, трапеций или параллелограммов ...), численное решение не является колебательным и сходится к точному решению. однако при переходе к неструктурированным сеткам возникают колебания, даже для квазиструктурированных сеток, создаваемых путем случайного смещения узлов структурированной сетки на небольшое расстояние. Это ожидаемое поведение?
Adr
1
@Adrian - довольно часто появляются колебания, когда вы уходите от однородных сеток. Как только вы используете общие меши, также уже не совсем понятно, что именно вы подразумеваете под размером меша . Это может быть диаметр ячейки, длина самого короткого края, квадратный корень области (в 2d) или любой другой способ определения «размера ячейки». h
Вольфганг Бангерт
Спасибо за разъяснения, Вольфганг. До сих пор я устанавливал как длину самого короткого края. Но в любом случае, даже уменьшение КЛЛ на порядок или более от предписанного КЛЛ, заданного формулой, все еще является колебательным. h
Адр