Что анализ устойчивости фон Неймана говорит нам о нелинейных конечно-разностных уравнениях?

Я читаю статью [1], где они решают следующее нелинейное уравнение

$$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$$ используя методы конечных разностей. Они также анализируют устойчивость схем с помощью анализа устойчивости фон Неймана. Однако, как понимают авторы, это применимо только к линейным PDE. Таким образом, авторы работают вокруг этого путем «замораживания» нелинейного термина, т.е. они заменяют$uu_x$ срок с $Uu_x$, где $U$ "считается представлять локально постоянные значения $u$«.

Итак, мой вопрос состоит из двух частей:

1: как интерпретировать этот метод и почему он (не) работает?

2: мы могли бы также заменить $uu_x$ срок с $uU_x$ срок, где $U_x$ "считается представлять локально постоянные значения $u_x$«?

Ссылки

1. Eilbeck, JC и GR McGuire. «Численное исследование регуляризованного длинноволнового уравнения I: численные методы». Журнал вычислительной физики 19.1 (1975): 43-57.

То, что вы говорите, называется линеаризацией. Это распространенная методика, используемая при анализе нелинейных уравнений в частных производных. Что сделано, чтобы привести уравнения в формате,

$u_t+Au=0$

Здесь A - матрица, полученная в результате линеаризации уравнения.

Теперь на ваши вопросы,

1. Как вы думаете, это работает в некоторой степени, но не в какой-то другой степени. Полезность состоит в том, что стабильность может быть доказана для линейных систем, но не всегда легко для нелинейных систем. Таким образом, линейные результаты распространяются на нелинейные системы. Часто для конкретных случаев применяются разные методы. Например,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

которая является формой сохранения. Так,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

когда представлено в смысле конечного объема дает ограничения на эволюцию и.

2. Какая польза от замены. Вы удалите уравнение из формы волнового уравнения. Что означало бы, что решения не будут вести себя как волновое уравнение. Таким образом, при анализе стабильности тестовые решения должны быть совершенно другими и нефизическими.

Чтобы развить аргумент линеаризации, в uu_x вы хотите предположить, что u локально постоянна, а не u_x, по двум причинам: a) u изменяется медленнее, чем его производная, и b) в этом конкретном случае, если вы предполагаете, что u_x локально постоянна по определению вы также предполагаете, что u локально линейна, что означает, что производные более высокого пространства равны нулю, и это не только вносит дополнительную погрешность аппроксимации, но это может означать, что вы, возможно, выбрасываете ребенка с водой, в зависимости от вашего уравнения.