Теорема эквивалентности Лакса утверждает, что согласованность и устойчивость численной схемы для линейной задачи с начальными значениями является необходимым и достаточным условием сходимости. Но для нелинейных задач численные методы могут очень вероятно сходиться к неправильным результатам, несмотря на то, что они последовательны и устойчивы. Например, эта статья показывает, как метод Годунова первого порядка, примененный к одномерным линеаризованным уравнениям мелкой воды, сходится к неверному решению.
Очевидно, что самосходимости при уточнении сетки и временного шага недостаточно, но точные решения, как правило, недоступны для нелинейных уравнений в частных производных, так как можно определить, сходится ли численный метод к подлинному решению?
источник
Ответы:
В этом отношении необходимо обсудить два основных класса решений.
«Достаточно» гладкие решения
В классической работе Стрэнга показано, что теорема эквивалентности Лакса (т. Е. Идея, что согласованность плюс устойчивость подразумевает сходимость) распространяется на нелинейные решения в частных производных, если они имеют определенное число непрерывных производных . Обратите внимание, что эта статья посвящена гиперболическим проблемам, но результат переносится на параболические проблемы. Количество необходимых производных является технической точкой, но этот подход обычно применим к решениям, которые в строгом смысле удовлетворяют PDE.
Разрывные решения
С другой стороны, мы имеем «решения» PDE с разрывами , которые обычно возникают из нелинейных гиперболических законов сохранения . В этой ситуации, конечно, нельзя сказать, что решение удовлетворяет УОП в сильном смысле, поскольку оно недифференцируемо в одной или нескольких точках. Вместо этого необходимо ввести понятие слабого решения , которое по существу сводится к требованию, чтобы решение удовлетворяло интегральному закону сохранения.
Доказать сходимость последовательности решений в этом случае также сложнее, поскольку -устойчивости недостаточно; обычно нужно показать, что последовательность лежит в компактном пространстве, таком как набор функций L ∞ с некоторой конечной максимальной полной вариацией.Lп L∞
Если можно показать, что последовательность сходится к чему-то, и если метод является консервативным, то теорема Лакса-Вендроффа гарантирует, что она сходится к слабому решению закона сохранения. Однако такие решения не являются уникальными . Определение того, какое слабое решение является «правильным», требует информации, которая не содержится в гиперболическом PDE. Как правило, гиперболические уравнения в частных производных получают, пренебрегая параболическими членами в континуальной модели, и правильное слабое решение может зависеть от того, какие именно параболические члены были отброшены (этот последний пункт является предметом статьи, с которой связан вопрос выше ).
Это богатая и сложная тема, и математическая теория далека от завершения. Большинство доказательств сходимости предназначены для одномерных задач и основаны на специализированных методах. Таким образом, практически все фактические вычислительные решения гиперболических законов сохранения на практике не могут быть доказаны сходящимися с существующими инструментами. Для практического обсуждения с вычислительной точки зрения см. Книгу Левека (главы 8, 12 и 15); для более строгого и подробного лечения я бы предложил Dafermos .
источник
Я мало что могу здесь сделать, кроме как указать, что всякий раз, когда численные методы имеют проблемы с гиперболическими уравнениями (и сходятся к неправильному решению), это обычно не из-за потрясений. Скорее, области, в которых они испытывают трудности, - это волны разрежения, где решение гладкое.
источник