Загадочное замечание об области устойчивости метода Рунге-Кутты пятого порядка

15

Я наткнулся на удивительное замечание в газете

PJ van der Houwen, Развитие методов Рунге-Кутты для уравнений с частными производными, Appl. Num. Математика 20: 261, 1996

В строках 8ff на странице 264 ван дер Хоувен пишет:

«Для полиномов Тейлора это означает, что мнимый интервал устойчивости пуст при »пзнак равно1,2,5,6,9,10,

где полином Тейлора относится к полиному устойчивости (усеченное разложение вокруг ) метода Рунге-Кутты, а p - порядок (см. стр. 263). Я предполагаю, что что-то неправильно понимаю, потому что метод Рунге-Кутты пятого порядка, насколько я знаю, не имеет пустого мнимого интервала устойчивости. Насколько я помню, мнимый предел составляет около 3,4 или около того.ехр(Икс)Иксзнак равно0

В чем мое недоразумение?

Брайан Затапатик
источник

Ответы:

21

Утверждение ван дер Хоувена верно, но оно не является утверждением о всех методах Рунге-Кутты пятого порядка. «Полиномы Тейлора», на которые он ссылается, - это (как вы, кажется, знаете) просто полиномы степени которые приближают exp ( z ) к порядку p :пехр(Z)п

пп(Z)знак равноΣJзнак равно1пZJJ!

Для полинома пятого порядка получается, что для малых ϵ , поэтому область устойчивости метода, имеющего P 5 ( z ) в качестве полинома устойчивости, не включает в себя окрестности начала координат на мнимой оси . Именно так говорит ван дер Хоувен.|п5(яε)|>1εп5(Z)

Наиболее вероятным источником вашего замешательства является то, что подразумевается под «методом Рунге-Кутты пятого порядка». Существует (бесконечно) много методов Рунге-Кутты пятого порядка, но наиболее известные из них не имеют качестве полинома устойчивости. Почему? Как доказал Джон Батчер , метод Рунге-Кутты пятого порядка должен иметь как минимум шесть этапов . Обычно полином устойчивости метода с шестью (или более) стадиями будет иметь шестую (или более) степень. Например, каждый из методов пятого порядка, перечисленных на этой странице Википедии, использует ровно шесть этапов и имеет полином стабильности шестой степени.п5(Z)

Возможно ли, чтобы метод пятого порядка имел качестве полинома устойчивости? Да; явный метод экстраполяции пятого порядка (как известные методы, рассмотренные в моей статье ) сделает это. Отметим также, что p -ступенчатый метод Рунге-Кутты с полиномом устойчивости P 5 ( z ) будет с точностью до порядка 5 для линейных ОДУ, но не для нелинейных ОДУ.п5(Z)пп5(Z)

Наконец, легко допустить ошибки при определении степени мнимого интервала устойчивости для методов Рунге-Кутты высокого порядка. Это связано с тем, что граница области устойчивости для таких методов лежит очень близко к мнимой оси . Следовательно, ошибки округления могут привести к неверным выводам; следует использовать только точные расчеты (разумеется, актуальность границы области устойчивости для практических целей в этих обстоятельствах, безусловно, может обсуждаться).

Например, вот график области устойчивости метода пятого порядка из пары Фельберга 5 (4): Регион стабильности Фельберга

Мнимый интервал стабильности пуст, но вы не можете сказать по картинке в этом разрешении! Обратите внимание, что область явно включает в себя часть мнимой оси, но без интервала относительно начала координат.

Между тем, вот график для метода пятого порядка из пары Dormand-Prince 5 (4):

Область стабильности DP5

[-1,1]

пп(Z)

Вы также можете быть заинтересованы в пакете NodePy , который создал графики выше и который может использоваться для точного определения таких вещей, как мнимый интервал стабильности метода (отказ от ответственности: я создал NodePy).

Дэвид Кетчесон
источник
Дэвид, спасибо за твой отличный ответ, который прояснил пару вещей. Я собираюсь путешествовать в течение нескольких дней без доступа. Я не хотел, чтобы ваш ответ висел вот так; Я вернусь к этому.
Брайан Затапатик