Загадочное замечание об области устойчивости метода Рунге-Кутты пятого порядка

Я наткнулся на удивительное замечание в газете

PJ van der Houwen, Развитие методов Рунге-Кутты для уравнений с частными производными, Appl. Num. Математика 20: 261, 1996

В строках 8ff на странице 264 ван дер Хоувен пишет:

«Для полиномов Тейлора это означает, что мнимый интервал устойчивости пуст при »$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

где полином Тейлора относится к полиному устойчивости (усеченное разложение вокруг ) метода Рунге-Кутты, а p - порядок (см. стр. 263). Я предполагаю, что что-то неправильно понимаю, потому что метод Рунге-Кутты пятого порядка, насколько я знаю, не имеет пустого мнимого интервала устойчивости. Насколько я помню, мнимый предел составляет около 3,4 или около того.$\exp(x)$$x=0$

В чем мое недоразумение?

Утверждение ван дер Хоувена верно, но оно не является утверждением о всех методах Рунге-Кутты пятого порядка. «Полиномы Тейлора», на которые он ссылается, - это (как вы, кажется, знаете) просто полиномы степени которые приближают exp ( z ) к порядку p :$p$$\exp(z)$$p$

Для полинома пятого порядка получается, что для малых ϵ , поэтому область устойчивости метода, имеющего P 5 ( z ) в качестве полинома устойчивости, не включает в себя окрестности начала координат на мнимой оси . Именно так говорит ван дер Хоувен.$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

Наиболее вероятным источником вашего замешательства является то, что подразумевается под «методом Рунге-Кутты пятого порядка». Существует (бесконечно) много методов Рунге-Кутты пятого порядка, но наиболее известные из них не имеют качестве полинома устойчивости. Почему? Как доказал Джон Батчер , метод Рунге-Кутты пятого порядка должен иметь как минимум шесть этапов . Обычно полином устойчивости метода с шестью (или более) стадиями будет иметь шестую (или более) степень. Например, каждый из методов пятого порядка, перечисленных на этой странице Википедии, использует ровно шесть этапов и имеет полином стабильности шестой степени.$P_5(z)$

Возможно ли, чтобы метод пятого порядка имел качестве полинома устойчивости? Да; явный метод экстраполяции пятого порядка (как известные методы, рассмотренные в моей статье ) сделает это. Отметим также, что p -ступенчатый метод Рунге-Кутты с полиномом устойчивости P 5 ( z ) будет с точностью до порядка 5 для линейных ОДУ, но не для нелинейных ОДУ.$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

Наконец, легко допустить ошибки при определении степени мнимого интервала устойчивости для методов Рунге-Кутты высокого порядка. Это связано с тем, что граница области устойчивости для таких методов лежит очень близко к мнимой оси . Следовательно, ошибки округления могут привести к неверным выводам; следует использовать только точные расчеты (разумеется, актуальность границы области устойчивости для практических целей в этих обстоятельствах, безусловно, может обсуждаться).

Например, вот график области устойчивости метода пятого порядка из пары Фельберга 5 (4):

Мнимый интервал стабильности пуст, но вы не можете сказать по картинке в этом разрешении! Обратите внимание, что область явно включает в себя часть мнимой оси, но без интервала относительно начала координат.

Между тем, вот график для метода пятого порядка из пары Dormand-Prince 5 (4):

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Вы также можете быть заинтересованы в пакете NodePy , который создал графики выше и который может использоваться для точного определения таких вещей, как мнимый интервал стабильности метода (отказ от ответственности: я создал NodePy).