Какие итерационные линейные решатели сходятся для положительных полуопределенных матриц?

10

Я хочу знать , какие из классических линейных решателей (например , Гаусс-Зейделя, Jacobi, SOR) гарантированно сходятся для задачи , где положительно полу определена и, конечноA b i m ( A )Ax=bAbim(A)

(Примечание является полуопределенным и не определенным)A

olamundo
источник
1
Вы имеете в виду положительные полуопределенные матрицы?
Meawoppl
1
Какой смысл решать линейную систему с такой матрицей? Если я не ошибаюсь, если ваша положительная полуопределенная матрица неособа, то она просто положительно определена.
фалейчик
1
Да, я уверен. Я должен освежить свою память относительно фактического доказательства, но согласно тому, что вы говорили, - если знаменатель в расчете равен нулю, это означает, что равен нулю, что означает, что все «направления поиска», в которых A не единственное число было исчерпано, и остаток, который вы оставили в не в пределах A (и, следовательно, это «оптимальное» решение). В случае, если на самом деле , этого не произойдет, так как остаток достигнет нуля как раз перед первым временемA P k b s p a n ( A ) A P k = 0αAPkbspan(A)APk=0
olamundo
1
Установите . Тогда . CG будет сходиться из-за для всех . Другими словами, вы никогда не оставляете для которого , положительно определен. п б я м ( ) х * п х п > 0 0 х пI м ( ) я м ( )x0=bAnbIm(A)xnAxn>00xnIm(A)Im(A)A
Смертельное дыхание
2
@faleichik: матрицы пониженной плотности в квантовой механике во многих случаях положительны полуопределены.
Смертельное дыхание

Ответы:

8

Алгоритм сопряженного градиента работает для полуопределенных задач и дает минимальное решение нормы.

Арнольд Ноймайер
источник
Спасибо. Любая идея об "архаичных" решателях, например, SOR Gauss-Seidel и т. Д.
olamundo
Они почти никогда не используются, и я не знаю, как они себя ведут.
Арнольд Ноймайер
Чтобы уточнить: CG, безусловно, не работает в ванильной форме для полуопределенных матриц; это может сработать в теории, если B по образу A; но это вряд ли хорошо закончится в численной практике. Очень похожие MINRES на основе Крылова - намного лучший выбор здесь. Кроме того, эти «архаичные» решатели широко используются в решателях многосеточного типа, чтобы назвать один пример.
Eelco Hoogendoorn
1

Вот доказательство того, что Гаусс-Зейделя соответствует вашим требованиям, учитывая , что в образе .АbA

То же самое очень не относится к Якоби; что стыдно, так как кто хочет беспокоиться о Gauss-Seidel на современном компьютерном оборудовании? Если ваша проблема может быть разбита на блоки по диагонали, вам повезло; Вы можете применять обновления Якоби к этим блокам инкрементным образом Гаусса-Зейделя и получать лучшее из обоих для таких полуопределенных задач.

Eelco Hoogendoorn
источник