Альтернатива сфере Блоха для представления одного кубита

Для того, чтобы представить один кубит $|\psi\rangle$ мы используем унитарный вектор в $\mathbb{C}^2$ гильбертовом пространстве, (один из) ортонормированного базиса является $(|0\rangle, |1\rangle)$ .

Мы можем нарисовать $|\psi\rangle$ используя мяч Блоха . Однако, я нашел это обозначение довольно запутанным, потому что ортогональные векторы пространственно антипараллельны ( краткое объяснение в этом вопросе обмена физикой ).

Знаете ли вы другое графическое представление для одного кубита?

В ссылке на ваш вопрос о другом вопросе, написанном пользователем 098876, «Понимание сферы Блоха», Даниэль делает полезный комментарий:

«Рисование точек на сфере для представления состояния квантовой двухуровневой системы не означает, что вы должны думать об этих точках как о реальных векторах в трехмерном пространстве. - DanielSank 3 сентября 15 в 20:17».

Упрощенное объяснение: это двухсторонняя плоскость (или две плоскости), спроецированная на сферу.

«Я нашел эту запись довольно запутанной, потому что ортогональные векторы пространственно антипараллельны ( краткое объяснение в этом вопросе обмена физиками ). Знаете ли вы какое-либо другое графическое представление для одного кубита?»

В настоящее время предпринимаются некоторые усилия для обеспечения более общего представления, которое простирается от кубитов до квидитов. Это объяснение и представление с использованием сферы Майорана не так уж отличается , это все же сфера, но, возможно, это менее запутанно:

О кубитах на майорановской сфере см .: « N-кубитные состояния как точки на блоховской сфере ».

«Аннотация. Мы показываем, как представление Майораны можно использовать для выражения чистых состояний системы N-кубитов ... В заключение, представление Майораны полезно при изучении частиц со спином , тогда как альтернативное представление предпочтительнее, когда Обсуждаются состояния N- кубитовой системы. Помимо помощи в визуализации N- кубитных состояний и способов их преобразования при вращениях и других операциях, последнее представление также может помочь идентифицировать некоторые специальные N- кубитные состояния.$S$$N$$N$$N$ кубитные состояния, как это делал представление Майорана в контекст спинорных бозе-эйнштейновских конденсатов ".

См .: « Майорановское представление, критри Гильбертово пространство и ЯМР реализация критритовых затворов» »:

Страница 1:

«Сфера Блоха обеспечивает представление квантовых состояний одного кубита на $\mathcal S^2$ (единичная сфера в трех вещественных измерениях), причем чистые состояния отображаются на поверхности, а смешанные состояния лежат внутри. Это геометрическое представление полезно в обеспечение визуализации квантовых состояний и их преобразований, особенно в случае квантовых вычислений на основе ЯМР, где спин- $\frac{1}{2}$ намагниченность и ее преобразование с помощью ЯМР ВЧ импульсов визуализируется на блоховской сфере. Было несколько предложений о геометрическом представлении для квантовых систем более высокого уровня, однако расширение сфероподобной картины Блоха на более высокие спины не является простым. Майорана предложила геометрическое представление, в котором чистое состояние спина «» представляется как «2$s$$_s$ точками » на поверхности единичной сферы, называемой сферой Майорана.

Представление майорановского для систем нашло широкое применение , например , как определение геометрической фазы спинов, что составляет N спиноров на N точки, геометрическое представление мульти-кубит запутанных состояний, статистику хаотических систем квантовых динамических и характеризующие поляризованный свет. Один кутрит (квантовая система трехуровневый) имеет особое значение в qudit основе ( д -уровень квантовой системы) квантовых вычислительных схем. Критрит - это самая маленькая система, которая обладает собственными квантовыми характеристиками, такими как контекстуальность, которая, как предполагается, является ресурсом для квантовых вычислений . Квантовые вычисления ЯМР могут быть выполнены с использованием ядер со спином s> 1.$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ или может быть смоделировано с помощью двух или более связанных спин-$\frac{1}{2}$ ядра. В этой работе мы используем майорановское описание сферы одного критрита, где состояния критрита представлены парой точек на единичной сфере, чтобы обеспечить понимание пространства состояний критрита.

Страница 5:

Величина вектора намагниченности → М | в чистом ансамбле одного критрита можно принимать значения в диапазоне [ 0 , 1 ] . Напротив, чистый ансамбль кубита всегда обладает единичной величиной связанного с ним вектора намагниченности$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . Геометрическая картина вектора намагниченности одного критрита обеспечивается майорановским представлением. Значение → М | зависит от длины биссектрисы О О ' и лежит вдоль $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$ось и вращательно инвариантна. Таким образом, в соответствии с заданным значением длины биссектрисы можно принять концентрические сферы с непрерывно меняющимися радиусами, поверхности которых являются поверхностями постоянной намагниченности. Радиусы этих сфер равны → М | , которые варьируются в диапазоне [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Страница 10:

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой работе описывается геометрическое представление критрита, в котором состояния критрита представлены двумя точками на единичной сфере в соответствии с представлением Майорана. Параметризация одноквритных состояний была получена для генерации произвольных состояний из однопараметрического семейства канонических состояний посредством действия преобразований . Вектор намагниченности спина 1 был представлен на майорановской сфере, и состояния были определены как «указывающие» или «не указывающие» в зависимости от нулевого или ненулевого значения спиновой намагниченности. Преобразования, порожденные действием S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$генераторы также были включены в майорановскую геометрическую картину. В отличие от кубитов, разложение одноквритных квантовых затворов в терминах радиочастотных импульсов не является простым, и представление сферы Майораны дает способ геометрически описать эти затворы. Тщательные наблюдения динамики точек, представляющих критрит на сфере Майорана под действием различных квантовых затворов, были использованы для получения разложения высокочастотных импульсов, а основные одноквритные затворы были экспериментально реализованы с помощью ЯМР.

ИНЖИР. 1. Критрит на сфере Майорана представлен двумя точками и P 2 , соединенными с центром сферы линиями, показанными соответственно красным и синим. θ 1 , ϕ 1 - полярный и азимутальный углы, соответствующие точке P 1 ( θ 2 , ϕ 2 - углы для точки P 2 ). (а) Корни полинома Майорана показаны в плоскости z = 0 точками P ′ 1 и P ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, чьи стереографические проекции дают начало представлению Майорана. Приведены три примера, соответствующие мажорановскому представлению базисных векторов одного кварта , ( $(b)\;\vert+1\rangle$ и ( $(c)\;\vert0\rangle$$(d)\;\vert-1\rangle$ . Одна из точек показана сплошным (красным) кружком, а другая точка - пустым (синим) кружком.

См. « Майорановское представление высших спиновых состояний » (.PDF) Уилера (веб-сайт) или « Вигнеровская томография многоспиновых квантовых состояний »:

Как это выглядит, используя томографию: «В этой статье мы теоретически разрабатываем томографическую схему для сферических функций произвольных многоспиновых квантовых состояний. Мы изучаем экспериментальные схемы для восстановления обобщенного представления Вигнера заданного оператора плотности (представляющего смешанные или чисто квантовые состояния». ) «.

Сравните это со сложностью сферы Блоха, изображенной в: Блохсферное представление трехвершинных геометрических фаз ». Форма та же самая, это все, как вы визуализируете проекцию.

Вот менее занятое изображение:

Вспомните сферу Блоха, разрезанную пополам очень большим листом бумаги. На краю бумаги (бесконечность) любая точка в верхней части листа рисует линию (бесконечность) к верхней части шара (нижняя часть шара для нижней стороны листа). Точки, ближайшие к центру бумаги (смешанные состояния), рисуют линии к центру сферы. Это представляет расстояние до бесконечности на крошечном шарике, кубит / квитит конечен, поэтому бумага не такая большая.

Теперь нарисуйте точки на 2D-бумаге, нарисуйте линии от бумаги к шарику, удалите бумагу и посмотрите на прозрачный шарик или сквозь него, чтобы увидеть другую конечную точку линии.

Гораздо более точное и сложное объяснение предлагается по ссылкам выше.

Добавление к тому, что @pyramids передал в своем ответе :

Состояние кубита обычно записывается как , где α , β ∈ C и | α | 2 + | β | $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$ .$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

- четырехмерное векторное пространство над полем действительных чисел. Посколькулюбое n- мерное вещественное векторное пространство изоморфно R n ( R ) , вы можете также представить состояние любого кубита как точку в4-мерном вещественном пространстве, базисные векторы которого вы можете считать(1,0,0).,0),(0,1,0,0),(0,0,$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$ . В таком случае состояние кубитов будет представленвиде ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + б ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + с ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + d ( 0 , 0 , 0 , 1 $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$,

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$ to be satisfied, which implies the state of the qubit would be a point on a 3-sphere.

As you know, it is difficult to efficiently represent a $4$-dimensional space on a $2$-dimensional surface like a paper, or your screen. Hence, you don't see that representation used often. Bloch sphere is pretty much the most efficient representation out there (for a single qubit), since it reduces one degree of freedom (of the complex numbers $\alpha,\beta$ each of which have two degrees of freedom) due to the fact that a qubit's state is usually normalized to a magnitude of $1$ i.e. $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Now, using the Hopf coordinates let's say:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Here, $\theta$ can run from $0$ to $\pi$ whereas, $\psi$ and $\phi+\psi$ can take values between $0$ to $\pi$.

In case you're wondering why $\theta/2$ is being used instead of $\theta$ have a look at the answers on this excellent thread on Physics Stack Exchange.

Okay, even now you notice three degrees of freedom $\psi,\phi,\theta$, whereas in a unit radii sphere, you only have two angles which you can change to get the different states of a qubit.

Notice that $\phi$ is basically the "relative phase" between $\alpha$ and $\beta$. On the other hand $\psi$ does not contribute to the "relative phase" of $\alpha,\beta$. Also, neither $\phi$ nor $\psi$ contribute to the magnitude of $\alpha,\beta$ (since $|e^{i\varphi}|=1$ for any angle $\varphi$). Since $\psi$ contributes neither to "relative phase" nor to the "magnitudes" of $\alpha,\beta$ it is said to have no physically observable consequences and we can arbitrarily choose $\alpha$ to be real by eliminating the factor of $e^{i\psi}$.

Thus we end up with:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ and $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ Where $\theta$ can run from $0$ to $\pi$, and $\phi$ can run from $0$ to $2\pi$.

This practical simplification allows you to represent a qubit's state using just $2$ degrees of freedom on $3$-dimensional spherical surface having unit radius, which again can again efficiently be "drawn" on a $2$-dimensional surface, as shown in the following image.

Mathematically, it is not possible to reduce the degrees of freedom any further, and so, I'd say there is no other "more efficient" geometrical representation of a single qubit than the Bloch sphere.

_{Source: Wikipedia:Bloch_Sphere}

Исторически сфера Блоха описывала спины, в которых вверх и вниз можно рассматривать как (анти) параллельные, а не (математически) ортогональные.

Вы можете естественно (и, возможно, более естественно!) Изобразить состояние кубита таким образом, что ортогональные состояния действительно ортогональны. Тогда чистое состояние 1-кубита занимает точку на поверхности 4-мерной сферы.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..