Как компактно представить несколько состояний кубита?

Поскольку доступ к квантовым устройствам, способным к квантовым вычислениям, все еще чрезвычайно ограничен, представляет интерес для моделирования квантовых вычислений на классическом компьютере . Представление состояния $n$ кубитов в качестве вектора занимает $2^n$ элементов, что значительно ограничивает число кубитов, которые можно учитывать при таком моделировании.

Можно ли использовать более компактное представление ¹ в том смысле, что оно использует меньше памяти и / или вычислительных мощностей, чем простое векторное представление? Как это работает?

Хотя это легко реализовать, ясно, что векторное представление расточительно для состояний, которые демонстрируют разреженность и / или избыточность в своем векторном представлении. Для конкретного примера рассмотрим 3-кубитное состояние . Он имеет23элемента, но они принимают только3возможных значения, большинство из которых равно0. Конечно, чтобы быть полезным при моделировании квантовых вычислений, нам также нужно было бы подумать о том, как представлять ворота и как они влияют на кубиты, и что-то включать в них что-то подобное, было бы желательно, но я был бы рад услышать и о кубитах.$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. Обратите внимание, что я спрашиваю о представлениях, а не о программном обеспечении, библиотеках или статьях, которые могут использовать / представлять такие представления. Если вы представляете и объясняете представление, вы можете упомянуть, где оно уже используется.}

Существует много возможных способов компактного представления состояния, полезность которого сильно зависит от контекста.

Прежде всего, важно отметить, что невозможно иметь процедуру, которая может отображать любое состояние в более эффективное представление того же состояния (по той же причине, почему, очевидно, невозможно точно сжать любой 2-битный строка как 1-битная строка с отображением, которое не зависит от строки).

Однако, как только вы начнете делать некоторые предположения, вы сможете найти более эффективные способы представления состояния в данном контексте. Существует множество возможных способов сделать это, поэтому я просто упомяну несколько, которые приходят на ум:

1. Уже стандартное векторное представление кет-состояния можно рассматривать как «сжатое представление», которое работает в предположении о чистоте состояния . Действительно, вам нужно реальных степеней свободы, чтобы представить произвольное (обычно смешанное) состояние n- кубита, но только 2 n + 1 - 2, чтобы представить чистое.$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. Если вы предполагаете, что состояние является почти чистым, то есть таким, что ρ является редким в некотором представлении (эквивалентно, ρ является низким рангом), то снова состояние может быть эффективно охарактеризовано. Для d- мерной системы (т. Е. D = 2 n для n- кубитовой системы) вместо использования параметров ~ d 2 можно получить точное представление, используя только O ( r d log 2 d ) , где r - разреженность государства (см. 0909.3304$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ и работы, которые пришли после этого).

3. Если вы заинтересованы только в ограниченном количестве ожидаемых значений вы можете найти сжатое представление n- кубитного состояния размера O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) . Обратите внимание, что это составляет экспоненциальное уменьшение . Это было показано (я думаю) в Quant-Ph / 0402095 , но введение, данное в 1801.05721, может быть более доступным для физика (так же как и представление улучшений в методе оптимизации). См. Ссылки в этой последней статье для ряда аналогичных результатов.$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. Если вы знаете, что запутанность состояния ограничена (в смысле, который может быть точно определен), то снова можно найти эффективные представления в терминах тензорных сетей (введение можно найти, например, в 1708.00006 ). Позже также было показано, что основные состояния некоторых известных гамильтонианов могут быть представлены с помощью анзаце, вдохновленном машинным обучением (( 1606.02318 и многие последующие работы). Однако недавно было также показано / заявлено, что оно эквивалентно конкретному представлению тензорной сети. ( 1710.04045 ), поэтому я не уверен, стоит ли переходить в отдельную категорию.

Обратите внимание, что во всем вышеперечисленном вы можете более эффективно представлять данное состояние, но затем для имитации эволюции системы вам, как правило, нужно вернуться к исходному неэффективному представлению. Если вы хотите эффективно представлять динамику состояния посредством данной эволюции, вам снова нужны предположения об эволюции, чтобы это было возможно. Единственный результат, который приходит на ум в этом отношении, - это классическая (как это было установлено, а не как «не квантовая») теорема Готтсмана-Найла , которая позволяет эффективно моделировать любую квантовую цепь Клиффорда.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Я не уверен, что использование разреженности является хорошим подходом: даже гейты с одним кубитом могут легко превратить разреженное состояние в плотное.

Но вы можете использовать формализм стабилизатора, если вы используете только ворота Клиффорда . Вот краткое резюме ( обозначение ):
Одиночная-кубит Паули группа является , то есть все возможные продукты матриц Паули ( в том числе и я ). Группа Паули из нескольких кубитов является тензорным пространством произведений группы G 1 , G n = G ⊗ n 1 . Стабилизатор состояния | г | ⟩ является подгруппой группы Pauli всех операторов , которые стабилизируют$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ , что означает s | $\ket{\psi}$ . Важно отметить, что это работает только для определенных (но важных) состояний. Я приведу пример ниже. Ограничение на элементы группы Паули не обязательно, а распространено. Стабилизатор генерируется операторами s 1 , s 2 , ... s n . Стабилизатор однозначно определяет состояние и является эффективным описанием: вместо 2 n - 1 комплексных чисел мы можем использовать 4 n 2 бита ( G $s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

$n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$ by applying a controlled-phase gate $C_Z$ for each pair of vertices which are connected. The stabilizer is generated by

$$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$$

For example start with the two-qubit state $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$. The stabilizer is $\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$. Now apply the $C_Z$ gate to obtain $\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$. (The state is $\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$, which is local unitary equivalent to a Bell state)

The stabilizer formalism also plays an important role in quantum error correction.

Can one use a representation that is more compact, in the sense that it uses less memory and/or computational power than the simple vector representation? How does it work?

Source: "Multiple Qubits":

"A single qubit can be trivially modeled, simulating a fifty-qubit quantum computation would arguably push the limits of existing supercomputers. Increasing the size of the computation by only one additional qubit doubles the memory required to store the state and roughly doubles the computational time. This rapid doubling of computational power is why a quantum computer with a relatively small number of qubits can far surpass the most powerful supercomputers of today, tomorrow and beyond for some computational tasks.".

So you can't utilize a Ponzi scheme or rob Peter to pay Paul. Compression will save memory at the cost of computational complexity, or representation in a more flexible space (larger) would reduce computational complexity but at a cost of memory. Essentially what is needed is more capable hardware or smarter algorithms.

---

Here are some methods:

• Compression of the volume of sets of quantum states of the Qubit's metric:

The Fisher information metric can be used to map the volume of the qubit using an information geometry approach as discussed in "The Volume of Two-Qubit States by Information Geometry", "Analysis of Fisher Information and the Cramer-Rao Bound for Nonlinear Parameter Estimation After Compressed Sensing", and our "Intuitive explanation of Fisher Information and Cramer-Rao bound".

• Analogous to operand compression:

Computing depth-optimal decompositions of logical operations: "A meet-in-the-middle algorithm for fast synthesis of depth-optimal quantum circuits" or this Quora discussion on "Encoding the dimension of the particle".

• Analogous to memory compression:

Qutrit factorization using ternary arithmetic: "Factoring with Qutrits: Shor's Algorithm on Ternary and Metaplectic Quantum Architectures" and "Quantum Ternary Circuit Synthesis Using Projection Operations".

• Analogous to traditional optimization

"A Quantum Algorithm for Finding Minimum Exclusive-Or Expressions".

• Other:

Krull Dimensions or axiomatisation and graph rewriting: "Completeness of the ZX-calculus for Pure Qubit Clifford+T Quantum Mechanics".

By combining those techniques you ought to be able to squeeze the foot into the shoe. That would permit emulation of larger systems on conventional processors, just don't ask me to explain doctoral level work or write the code. :)