Как изменяются вероятности каждого состояния после преобразования квантовых ворот?

Квантовые вентили представлены матрицами, которые представляют преобразования, применяемые к кубитам (состояниям).

Предположим, у нас есть некоторый квантовый вентиль, который действует на кубита.$2$

Как квантовые ворота влияют (не обязательно изменяют) на результат измерения состояния кубитов (поскольку на результат измерения сильно влияют вероятности каждого возможного состояния)? Более конкретно, возможно ли заранее узнать, как изменяются вероятности каждого состояния из-за квантовых ворот?

Случай I: 2 кубита не запутаны.

Вы можете записать состояния двух кубитов (скажем, и B ) как | ψ ⟩ = | 0 ⟩ + б | 1 ⟩ и | ψ B ⟩ = C | 0 ⟩ + д | 1 ⟩ , где , Ь , с , d ∈ C .$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

Отдельные кубиты находятся в двумерных комплексных векторных пространствах (над полем C ). Но состояние системы - это вектор (или точка ), находящийся в четырехмерном комплексном векторном пространстве C 4 (над полем C ).$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

Состояние системы можно записать как тензорное произведение т.е. с | 00 ⟩ + d | 01 ⟩ + б с | 10 ⟩ + б д | 11 ⟩ .$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

Естественно, поскольку вектор состояния должен быть нормализован. Причина того, почему квадрат амплитуды базового состояния дает вероятность того, что это базовое состояние возникает при измерении в соответствующем базисе, заключается в правиле Борна по квантовой механике (некоторые физики считают его базовым постулатом квантовой механики). , Теперь вероятность | 0 ⟩ происходящие при измерении первого кубита находится$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ . Точно так же вероятность | 1 ⟩ происходящий при измерении первого кубита является | б с | 2 + | б д | 2 .$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

Теперь, что произойдет, если мы применяем квантовые ворота, не выполняя никаких измерений в предыдущем состоянии системы? Квантовые врата являются унитарными вратами. Их действие может быть записано в виде действия унитарного оператора на начальном состоянии системы т.е. с | 00 ⟩ + d | 01 ⟩ + б с | 10 ⟩ + б д | 11 ⟩ для получения нового состояния A | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (где , В , С , D ∈ C ). Величина этого нового состояния вектора: | A | 2 + | Б | 2 + | C | 2 + | D | 2 снова равняется 1 , так как применяемые ворота былиунитарными. Когда измеряется первый кубит, вероятность | 0 ⟩ происходит в | A | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$ и аналогичным образом вы можете найти его для появления | 1 ⟩ .$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

Но если бы мы выполнили измерение, перед действием унитарных ворот результат был бы другим. Например, вы измерили первый кубит, и он оказался в состояние промежуточное состояние системы было бы разрушилась в виде с | 00 ⟩ + d | 01 $|0\rangle$ (согласно копенгагенской интерпретации). Таким образом, вы можете понять, что применение одних и тех же квантовых ворот вэтомсостоянии дало бы другой конечный результат.$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

Случай II: 2 кубита запутаны.

В случае, если состояние системы примерно , вы не можете представить его в виде тензорного произведения состояний двух отдельных кубитов (попробуйте!). Таких примеров еще много. Говорят, что кубиты запутались в таком случае.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

Во всяком случае, основная логика остается той же. Вероятность происходящий при измерении первого кубита является | 1 / $|0\rangle$ и| 1⟩происходящий является$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$ тоже. Точно так же вы можете узнать вероятности для измерения второго кубита.$\frac{1}{2}$

Опять же, если вы примените к этому состоянию унитарные квантовые врата, вы получите что-то вроде , как и раньше. Я надеюсь, что теперь вы сами можете выяснить вероятности различных возможностей при измерении первого и второго кубитов.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

Примечание: обычно базисные состояния 2-кубитной системы рассматриваются как четыре 4 × 1 вектор - столбцов , как [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] и т.д. путем сопоставления четырех базисных векторов на основе стандартной R 4 . И унитарные преобразования U могут быть записаны как 4 × $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$матрицы , которые удовлетворяют свойству .$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

Да, это возможно. Эти квантовые ворота сконструированы таким образом, что входные данные состояния преобразуются в четко определенных выходных состояния с вычисляемыми вероятностями. Преобразование не является измерением в смысле квантовой механики, это означает, что мы можем запутать состояния на выходе квантового затвора и использовать эти состояния для дальнейших вычислений.

Также обратите внимание, что входные состояния больше не доступны после преобразования квантовым затвором. Если вы хотите получить их обратно, вы должны применить обратные ворота.

Как квантовые ворота влияют (не обязательно изменяют) на результат измерения состояния кубитов (поскольку на результат измерения сильно влияют вероятности каждого возможного состояния)? Более конкретно, возможно ли заранее узнать, как изменяются вероятности каждого состояния из-за квантовых ворот?

Давайте попробуем подойти к этому с примером и некоторой геометрией. Рассмотрим один кубит, у которого гильбертово пространство есть , т. Е. Двумерное комплексное гильбертово пространство над C (для более технических людей гильбертово пространство фактически является C P 1 ). Оказывается, что C P 1 ≅ S 2 , единичная сфера, также известная как сфера Блоха . Это означает, что все состояния кубита могут быть представлены ( однозначно ) на сфере Блоха.$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

Источник: Википедия

Состояние кубита на блоховской сфере можно представить в виде ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

Как эти ворота действуют на кубит и влияют на результаты измерений?

$|0\rangle$$U = e^{-i \gamma Y}$$\gamma \in \mathbb{R}$$U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$$2 \gamma$$\gamma = \pi/2$$|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$

$\{|0\rangle, |1\rangle\}$$|0\rangle$$|1\rangle$

$\Pi$$\rho$$U$$\Pi$$p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$$p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$

Я просто хочу подчеркнуть, что невозможно узнать вероятность результата после ворот только из вероятности его до ворот. Вам необходимо учитывать амплитуды вероятности (квантовые состояния)!

Позвольте мне сделать еще одно замечание: вы говорите о двух кубитах, поэтому состояние после ворот может быть запутано. В этом случае будет невозможно иметь «индивидуальные» распределения вероятностей для каждого кубита для всех измерений в том смысле, что совместное распределение вероятностей не будет учитываться в двух предельных распределениях.