Связь и различие между преобразованиями Фурье, Лапласа и Z
50
Я немного запутался в этих темах. Они все начали выглядеть одинаково для меня. Похоже, они имеют такие же свойства, как линейность, смещение и масштабирование, связанные с ними. Я не могу поставить их отдельно и определить цель каждого преобразования. Кроме того, какой из них используется для частотного анализа?
Я не смог найти (с Google) полный ответ, который решает эту конкретную проблему. Я хочу, чтобы их сравнивали на одной странице, чтобы я мог иметь некоторую ясность.
Преобразования Лапласа и Фурье являются непрерывными (интегральными) преобразованиями непрерывных функций.
Преобразование Лапласа отображает функцию на функцию комплексной переменной s , где .F ( s ) s = σ + j ωе( т )F( s )s = σ+ j ω
Поскольку производная отображается в , преобразование Лапласа линейного дифференциального уравнения является алгебраическим уравнением. Таким образом, преобразование Лапласа полезно, среди прочего, для решения линейных дифференциальных уравнений. сF(с)е˙( т ) = де( т )dTс F( s )
Если мы устанавливаем действительную часть комплексной переменной s к нулю, , то результат преобразования Фурье , которая, по существу, представление частотной области от (заметим , что это только справедливо если для этого значения формула для получения преобразования Лапласа функции , т. е. она не стремится к бесконечности).F ( J ω ) F ( т ) σ е ( т )σ= 0F( J ω )е( т )σf(t)
Z-преобразование по существу является дискретной версией преобразования Лапласа и, таким образом, может быть полезно при решении разностных уравнений, дискретной версии дифференциальных уравнений. Преобразование Z отображает последовательность в непрерывную функцию комплексной переменной .F ( z ) z = r e j Ωf[n]F(z)z=rejΩ
Если мы установим величину z равной единице, , результатом будет дискретное временное преобразование Фурье (DTFT) которое по существу является представлением в частотной области .F ( j Ω ) f [ n ]r=1F(jΩ)f[n]
S в преобразовании Лапласа является комплексным числом, скажем, a + j , поэтому оно является более общим преобразованием, чем полностью мнимое Фурье. На самом деле, пока вы находитесь в регионе конвергенции, будет справедливо переходить от одного к другому и обратно, просто заменив j на s и наоборотωωω
Скотт Сейдман
Я считаю полезным думать о преобразовании Фурье как о чем-то, что вы применяете к периодическим сигналам, а о преобразовании Лапласа как о чем-то, что вы применяете к изменяющимся во времени сигналам. (Это следствие того, что @ScottSeidman объяснил выше.)
Ли-Аунг Ип
1
@ Альфред: Вы на самом деле не обращались which one of these is used for frequency analysis- для полноты, вероятно, стоит упомянуть, что большинство людей используют БПФ для частотного анализа, и как БПФ согласуется с уже перечисленными вещами.
Ли Аунг Ип
4
@ Li-aungYip, я думаю , вы можете быть приравнивая фурье рядов и Фурье преобразования . Ряд Фурье для периодических функций; преобразование Фурье можно рассматривать как ряд Фурье в пределе по мере того, как период уходит в бесконечность. Итак, преобразование Фурье предназначено для апериодических сигналов. Кроме того, поскольку периодические сигналы обязательно являются изменяющимися во времени сигналами, я не «понимаю» того различия, которое вы рисуете.
Альфред Центавра
2
@ Li-aungYip Кроме того, FFT используется для вычисления DFT, который не является DTFT. DFT походит на взятие выборок в частотной области после наличия DTFT (который непрерывен для апериодических сигналов). Это просто инструмент, используемый в компьютерах для быстрых вычислений (хорошо, мы можем использовать его и вручную). Но FFT приходит после того, как вы прошли DTFT и CTFT.
Anshul
16
Преобразования Лапласа можно рассматривать как супернабор для CTFT. Вы видите, что в ROC, если корни передаточной функции лежат на мнимой оси, т. Е. Для s = σ + jω, σ = 0, как упоминалось в предыдущих комментариях, проблема преобразований Лапласа сводится к непрерывному временному преобразованию Фурье. Чтобы немного перемотать назад, было бы хорошо узнать, почему преобразования Лапласа развились в первую очередь, когда у нас были преобразования Фурье. Видите ли, сходимость функции (сигнала) является обязательным условием существования преобразования Фурье (абсолютно суммируемого), но в физическом мире также существуют сигналы, в которых невозможно иметь такие сходящиеся сигналы. Но, поскольку их анализ необходим, мы заставляем их сходиться, умножая монотонно убывающую экспоненту e ^ σ на него, что заставляет их сходиться по самой своей природе. Этому новому σ + jω дается новое имя «s», которое мы часто заменяем как «jω» для реакции синусоидальных сигналов каузальных систем LTI. В s-плоскости, если ROC преобразования Лапласа покрывает мнимую ось, тогда это преобразование Фурье будет существовать всегда, так как сигнал будет сходиться. Именно эти сигналы на мнимой оси состоят из периодических сигналов e ^ jω = cosωt + j sinωt (по Эйлеру).
Во многом таким же образом z-transform является расширением DTFT, во-первых, чтобы они сходились, во-вторых, чтобы сделать нашу жизнь намного проще. С az легче работать, чем с ae ^ jω (задавая r, радиус окружности ROC равен untiy).
Кроме того, вы с большей вероятностью будете использовать преобразование Фурье, чем Лапласа, для сигналов, не являющихся причинными, поскольку преобразования Лапласа значительно упрощают жизнь при использовании в качестве односторонних (односторонних) преобразований. Вы также можете использовать их с обеих сторон, результат будет одинаковым с некоторыми математическими вариациями.
Я попытаюсь объяснить разницу между преобразованием Лапласа и Фурье на примере электрических цепей. Итак, предположим, что у нас есть система, которая описывается известным дифференциальным уравнением, скажем, например, что у нас есть общая схема RLC. Также предположим, что общий выключатель используется для включения или выключения цепи. Теперь, если мы хотим изучить схему в стационарном синусоидальном состоянии, мы должны использовать преобразование Фурье. В противном случае, если наш анализ включает в себя включение или выключение схемы, мы должны реализовать преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений.
Другими словами, преобразование Лапласа используется для изучения переходной эволюции реакции системы из исходного состояния в конечное устойчивое состояние синусоиды. Он включает в себя не только переходное явление от начального состояния системы, но также и конечное устойчивое состояние синусоиды.
Разные инструменты для разных работ. Еще в конце шестнадцатого века астрономы начали делать неприятные вычисления. Логарифмы были сначала рассчитаны для преобразования умножения и деления в более простое сложение и вычитание. Аналогично, преобразования Лапласа и Z превращают неприятные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, которые у вас есть шанс решить. Ряды Фурье были первоначально изобретены для решения теплового потока в кирпичах и других дифференциальных уравнений в частных производных. Применение к вибрирующим струнам, органным трубам и анализу временных рядов появилось позже.
В любой системе LTI для вычисления передаточной функции мы используем только преобразование Лапласа вместо преобразования Фурье или z, потому что в Фурье мы получаем ограниченный выходной сигнал, он не уходит в бесконечность. И z-преобразование используется для дискретных сигналов, но системы LTI являются непрерывными сигналами, поэтому мы не можем использовать z-преобразование. Поэтому, используя преобразование Лапласа, мы можем вычислить передаточную функцию любой системы LTI.
which one of these is used for frequency analysis
- для полноты, вероятно, стоит упомянуть, что большинство людей используют БПФ для частотного анализа, и как БПФ согласуется с уже перечисленными вещами.Преобразования Лапласа можно рассматривать как супернабор для CTFT. Вы видите, что в ROC, если корни передаточной функции лежат на мнимой оси, т. Е. Для s = σ + jω, σ = 0, как упоминалось в предыдущих комментариях, проблема преобразований Лапласа сводится к непрерывному временному преобразованию Фурье. Чтобы немного перемотать назад, было бы хорошо узнать, почему преобразования Лапласа развились в первую очередь, когда у нас были преобразования Фурье. Видите ли, сходимость функции (сигнала) является обязательным условием существования преобразования Фурье (абсолютно суммируемого), но в физическом мире также существуют сигналы, в которых невозможно иметь такие сходящиеся сигналы. Но, поскольку их анализ необходим, мы заставляем их сходиться, умножая монотонно убывающую экспоненту e ^ σ на него, что заставляет их сходиться по самой своей природе. Этому новому σ + jω дается новое имя «s», которое мы часто заменяем как «jω» для реакции синусоидальных сигналов каузальных систем LTI. В s-плоскости, если ROC преобразования Лапласа покрывает мнимую ось, тогда это преобразование Фурье будет существовать всегда, так как сигнал будет сходиться. Именно эти сигналы на мнимой оси состоят из периодических сигналов e ^ jω = cosωt + j sinωt (по Эйлеру).
Во многом таким же образом z-transform является расширением DTFT, во-первых, чтобы они сходились, во-вторых, чтобы сделать нашу жизнь намного проще. С az легче работать, чем с ae ^ jω (задавая r, радиус окружности ROC равен untiy).
Кроме того, вы с большей вероятностью будете использовать преобразование Фурье, чем Лапласа, для сигналов, не являющихся причинными, поскольку преобразования Лапласа значительно упрощают жизнь при использовании в качестве односторонних (односторонних) преобразований. Вы также можете использовать их с обеих сторон, результат будет одинаковым с некоторыми математическими вариациями.
источник
Преобразования Фурье предназначены для преобразования / представления изменяющейся во времени функции в частотной области.
Преобразование Лапласа предназначено для преобразования / представления изменяющейся во времени функции в «интегральной области»
Z-преобразования очень похожи на Laplace, но представляют собой дискретные преобразования временного интервала, более близкие для цифровых реализаций.
Все они выглядят одинаково, потому что методы, используемые для преобразования, очень похожи.
источник
Я попытаюсь объяснить разницу между преобразованием Лапласа и Фурье на примере электрических цепей. Итак, предположим, что у нас есть система, которая описывается известным дифференциальным уравнением, скажем, например, что у нас есть общая схема RLC. Также предположим, что общий выключатель используется для включения или выключения цепи. Теперь, если мы хотим изучить схему в стационарном синусоидальном состоянии, мы должны использовать преобразование Фурье. В противном случае, если наш анализ включает в себя включение или выключение схемы, мы должны реализовать преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений.
Другими словами, преобразование Лапласа используется для изучения переходной эволюции реакции системы из исходного состояния в конечное устойчивое состояние синусоиды. Он включает в себя не только переходное явление от начального состояния системы, но также и конечное устойчивое состояние синусоиды.
источник
Разные инструменты для разных работ. Еще в конце шестнадцатого века астрономы начали делать неприятные вычисления. Логарифмы были сначала рассчитаны для преобразования умножения и деления в более простое сложение и вычитание. Аналогично, преобразования Лапласа и Z превращают неприятные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, которые у вас есть шанс решить. Ряды Фурье были первоначально изобретены для решения теплового потока в кирпичах и других дифференциальных уравнений в частных производных. Применение к вибрирующим струнам, органным трубам и анализу временных рядов появилось позже.
источник
В любой системе LTI для вычисления передаточной функции мы используем только преобразование Лапласа вместо преобразования Фурье или z, потому что в Фурье мы получаем ограниченный выходной сигнал, он не уходит в бесконечность. И z-преобразование используется для дискретных сигналов, но системы LTI являются непрерывными сигналами, поэтому мы не можем использовать z-преобразование. Поэтому, используя преобразование Лапласа, мы можем вычислить передаточную функцию любой системы LTI.
источник