Связь и различие между преобразованиями Фурье, Лапласа и Z

50

Я немного запутался в этих темах. Они все начали выглядеть одинаково для меня. Похоже, они имеют такие же свойства, как линейность, смещение и масштабирование, связанные с ними. Я не могу поставить их отдельно и определить цель каждого преобразования. Кроме того, какой из них используется для частотного анализа?

Я не смог найти (с Google) полный ответ, который решает эту конкретную проблему. Я хочу, чтобы их сравнивали на одной странице, чтобы я мог иметь некоторую ясность.

Винеет Каушик
источник

Ответы:

64

Преобразования Лапласа и Фурье являются непрерывными (интегральными) преобразованиями непрерывных функций.

Преобразование Лапласа отображает функцию на функцию комплексной переменной s , где .F ( s ) s = σ + j ωf(t)F(s)s=σ+jω

Поскольку производная отображается в , преобразование Лапласа линейного дифференциального уравнения является алгебраическим уравнением. Таким образом, преобразование Лапласа полезно, среди прочего, для решения линейных дифференциальных уравнений. сF(с)f˙(t)=df(t)dtsF(s)

Если мы устанавливаем действительную часть комплексной переменной s к нулю, , то результат преобразования Фурье , которая, по существу, представление частотной области от (заметим , что это только справедливо если для этого значения формула для получения преобразования Лапласа функции , т. е. она не стремится к бесконечности).F ( J ω ) F ( т ) σ е ( т )σ=0F(jω)f(t)σf(t)

Z-преобразование по существу является дискретной версией преобразования Лапласа и, таким образом, может быть полезно при решении разностных уравнений, дискретной версии дифференциальных уравнений. Преобразование Z отображает последовательность в непрерывную функцию комплексной переменной .F ( z ) z = r e j Ωf[n]F(z)z=rejΩ

Если мы установим величину z равной единице, , результатом будет дискретное временное преобразование Фурье (DTFT) которое по существу является представлением в частотной области .F ( j Ω ) f [ n ]r=1F(jΩ)f[n]

Альфред Центавра
источник
1
S в преобразовании Лапласа является комплексным числом, скажем, a + j , поэтому оно является более общим преобразованием, чем полностью мнимое Фурье. На самом деле, пока вы находитесь в регионе конвергенции, будет справедливо переходить от одного к другому и обратно, просто заменив j на s и наоборотωωω
Скотт Сейдман
Я считаю полезным думать о преобразовании Фурье как о чем-то, что вы применяете к периодическим сигналам, а о преобразовании Лапласа как о чем-то, что вы применяете к изменяющимся во времени сигналам. (Это следствие того, что @ScottSeidman объяснил выше.)
Ли-Аунг Ип
1
@ Альфред: Вы на самом деле не обращались which one of these is used for frequency analysis- для полноты, вероятно, стоит упомянуть, что большинство людей используют БПФ для частотного анализа, и как БПФ согласуется с уже перечисленными вещами.
Ли Аунг Ип
4
@ Li-aungYip, я думаю , вы можете быть приравнивая фурье рядов и Фурье преобразования . Ряд Фурье для периодических функций; преобразование Фурье можно рассматривать как ряд Фурье в пределе по мере того, как период уходит в бесконечность. Итак, преобразование Фурье предназначено для апериодических сигналов. Кроме того, поскольку периодические сигналы обязательно являются изменяющимися во времени сигналами, я не «понимаю» того различия, которое вы рисуете.
Альфред Центавра
2
@ Li-aungYip Кроме того, FFT используется для вычисления DFT, который не является DTFT. DFT походит на взятие выборок в частотной области после наличия DTFT (который непрерывен для апериодических сигналов). Это просто инструмент, используемый в компьютерах для быстрых вычислений (хорошо, мы можем использовать его и вручную). Но FFT приходит после того, как вы прошли DTFT и CTFT.
Anshul
16

Преобразования Лапласа можно рассматривать как супернабор для CTFT. Вы видите, что в ROC, если корни передаточной функции лежат на мнимой оси, т. Е. Для s = σ + jω, σ = 0, как упоминалось в предыдущих комментариях, проблема преобразований Лапласа сводится к непрерывному временному преобразованию Фурье. Чтобы немного перемотать назад, было бы хорошо узнать, почему преобразования Лапласа развились в первую очередь, когда у нас были преобразования Фурье. Видите ли, сходимость функции (сигнала) является обязательным условием существования преобразования Фурье (абсолютно суммируемого), но в физическом мире также существуют сигналы, в которых невозможно иметь такие сходящиеся сигналы. Но, поскольку их анализ необходим, мы заставляем их сходиться, умножая монотонно убывающую экспоненту e ^ σ на него, что заставляет их сходиться по самой своей природе. Этому новому σ + jω дается новое имя «s», которое мы часто заменяем как «jω» для реакции синусоидальных сигналов каузальных систем LTI. В s-плоскости, если ROC преобразования Лапласа покрывает мнимую ось, тогда это преобразование Фурье будет существовать всегда, так как сигнал будет сходиться. Именно эти сигналы на мнимой оси состоят из периодических сигналов e ^ jω = cosωt + j sinωt (по Эйлеру).

Во многом таким же образом z-transform является расширением DTFT, во-первых, чтобы они сходились, во-вторых, чтобы сделать нашу жизнь намного проще. С az легче работать, чем с ae ^ jω (задавая r, радиус окружности ROC равен untiy).

Кроме того, вы с большей вероятностью будете использовать преобразование Фурье, чем Лапласа, для сигналов, не являющихся причинными, поскольку преобразования Лапласа значительно упрощают жизнь при использовании в качестве односторонних (односторонних) преобразований. Вы также можете использовать их с обеих сторон, результат будет одинаковым с некоторыми математическими вариациями.

Anshul
источник
Твой ответ спаситель ... спасибо за столь точное и замечательное объяснение ..
Правин Пудель
10

Преобразования Фурье предназначены для преобразования / представления изменяющейся во времени функции в частотной области.

Преобразование Лапласа предназначено для преобразования / представления изменяющейся во времени функции в «интегральной области»

Z-преобразования очень похожи на Laplace, но представляют собой дискретные преобразования временного интервала, более близкие для цифровых реализаций.

Все они выглядят одинаково, потому что методы, используемые для преобразования, очень похожи.

JonRB
источник
4

Я попытаюсь объяснить разницу между преобразованием Лапласа и Фурье на примере электрических цепей. Итак, предположим, что у нас есть система, которая описывается известным дифференциальным уравнением, скажем, например, что у нас есть общая схема RLC. Также предположим, что общий выключатель используется для включения или выключения цепи. Теперь, если мы хотим изучить схему в стационарном синусоидальном состоянии, мы должны использовать преобразование Фурье. В противном случае, если наш анализ включает в себя включение или выключение схемы, мы должны реализовать преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений.

Другими словами, преобразование Лапласа используется для изучения переходной эволюции реакции системы из исходного состояния в конечное устойчивое состояние синусоиды. Он включает в себя не только переходное явление от начального состояния системы, но также и конечное устойчивое состояние синусоиды.

jfasoulas
источник
0

Разные инструменты для разных работ. Еще в конце шестнадцатого века астрономы начали делать неприятные вычисления. Логарифмы были сначала рассчитаны для преобразования умножения и деления в более простое сложение и вычитание. Аналогично, преобразования Лапласа и Z превращают неприятные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, которые у вас есть шанс решить. Ряды Фурье были первоначально изобретены для решения теплового потока в кирпичах и других дифференциальных уравнений в частных производных. Применение к вибрирующим струнам, органным трубам и анализу временных рядов появилось позже.

richard1941
источник
-1

В любой системе LTI для вычисления передаточной функции мы используем только преобразование Лапласа вместо преобразования Фурье или z, потому что в Фурье мы получаем ограниченный выходной сигнал, он не уходит в бесконечность. И z-преобразование используется для дискретных сигналов, но системы LTI являются непрерывными сигналами, поэтому мы не можем использовать z-преобразование. Поэтому, используя преобразование Лапласа, мы можем вычислить передаточную функцию любой системы LTI.

Нитеш Кумар Шарма
источник