Прерывистость приводит к тому, что сигнал имеет бесконечные синусоидальные компоненты, но треугольная волна является непрерывной, я взял класс, в котором инструктор сказал, что, поскольку треугольная волна является непрерывной, она может быть представлена конечным числом синусоидальных компонентов, а также показала конечное сложение множества частот синусоид, которые придают форму чистой треугольной волны.
Единственная проблема, которую я имею в виду, заключается в том, что производная треугольной волны не является непрерывной, поскольку она представляет собой прямоугольную волну и, следовательно, потребует бесконечной суммы синусоид, поэтому, если получить обе стороны формулы ряда Фурье от треугольной волны , мы получили бы прямоугольную волну, показанную как сумма конечного числа синусоид. Не будет ли это неправильно?
Ответы:
Цитата отсюда : -
Прерывистое изменение наклона также означает бесконечный диапазон синусоидальных компонентов.
Например, если вы интегрировали прямоугольную волну во времени, вы создаете треугольную волну, но все гармоники исходной прямоугольной волны все еще присутствуют после временной интеграции: -
источник
Вы либо не поняли это правильно, либо ошиблись инструктором. Недостаточно, чтобы сам сигнал был непрерывным, но все производные также должны быть непрерывными. Если в какой-либо производной есть разрыв, то повторяющийся сигнал будет иметь бесконечный ряд гармоник.
Треугольник является непрерывным, но его первая производная представляет собой прямоугольную волну, которая не является непрерывной. Таким образом, треугольная волна имеет бесконечный ряд гармоник.
источник
Математическое доказательство:
Возьмем функцию, составленную из взвешенной суммы конечного ряда компонентов синуса / косинуса.
Его производная также является взвешенной суммой конечного ряда синус / косинус компонентов. То же самое, если вы производите любое количество раз.
Поскольку синус и косинус непрерывны, функция и все ее производные непрерывны.
Таким образом, функция, имеющая разрыв в любой из ее производных, не может быть построена с помощью конечного ряда синусоидальных и косинусных компонентов.
источник
Хороших ответов здесь предостаточно, но это действительно зависит от вашей интерпретации «может быть представлен» .
Нужно понимать, что треугольная волна - это теоретическая математическая конструкция, которая на самом деле не может существовать.
Математически говоря, чтобы получить чистую треугольную волну, вам понадобится бесконечное число гармонических синусоид, но чтобы получить представление о треугольной волне, большинство из этих компонентов слишком малы, чтобы затеряться в фоновом шуме системы, или имеют такую высокую частоту, чтобы больше не передаваться.
Таким образом, на практике вам требуется только конечное число, чтобы получить полезное представление. Насколько хорошо вы хотите, чтобы это представление диктовало, сколько гармоник вам нужно использовать.
источник
Другой подход.
Давайте назовем x (t) треугольной волной, а y (t) - ее производной, которая является прямоугольной волной и, следовательно, прерывистой.
Если бы x (t) было конечной суммой синусоидальных сигналов, ее производная по линейности этой операции была бы конечной суммой производных синусоидальных сигналов, то есть опять-таки конечной суммы синусоидальных сигналов.
Но этот последний сигнал не может быть прямоугольной волной y (t), потому что конечная сумма синусоидальных сигналов непрерывна. Отсюда и противоречие.
Следовательно, x (t) должно иметь бесконечные компоненты Фурье.
источник
Я предлагаю гораздо более простой тест для практического применения. Если волна имеет острые углы, для ее построения необходимы бесконечные синусоидальные компоненты.
Зачем? Потому что конечный ряд синусоидов не может составить острый угол. Это доказывается по индукции по правилу разложения сумм (то есть Σ (a + b) = Σ a + Σ b для всех конечных сумм и всех безусловно сходящихся бесконечных сумм).
источник
Множество функций, которые могут быть выражены конечным рядом Фурье:
Для всех конечных множеств индексов N . Срок-по-перспективе дифференциации показывает , что производная (1) непрерывна и (2) и в F . Так как производная треугольной волны не является непрерывной, функция треугольной волны не в F .
Это доказательство базируется разрыв, но большинство непрерывных функций также не принадлежат F . Поскольку никакая полиномиальная или экспоненциальная функция не может быть выражена в виде конечной суммы синусов и косинусов, единственными членами F являются те, которые записаны явно в форме выше.
источник