Что такое гармоники и как они «появляются»?

29

Прочитав так много источников в Интернете, я до сих пор не могу понять, почему разные волновые формы имеют гармоники.

Например: при разработке схемы глупой амплитудной модуляции (АМ), которая помещает прямоугольную волну от микроконтроллера в антенну, как генерируются гармоники? Сигнал просто «включен» или «выключен», как появляются первая, третья и пятая гармоники и почему они становятся слабее?

Я слышал, что осциллографы могут измерять с точностью до пятой гармоники прямоугольной волны (или чего-то подобного), но почему это делает чтение другим? Являются ли эти гармоники несущественными в таких вещах, как передача данных (высокий = 1, низкий = 0), и имеют значение только в таких ситуациях, как аудио или RF?

Почему синусоидальные волны не имеют столько гармоник? Потому что форма волны всегда движется и не плоская, идущая вверх (треугольник) или горизонтальная (квадрат), а круговая с постоянно меняющимся значением?

Джон Куинн
источник
2
У меня складывается впечатление, что вы используете «гармоники» в разговорной речи - более высокие частоты помех. Гармоники (частоты) связаны с определением разложения в ряд Фурье - поэтому у вас будут гармоники, если вы разложите квадратную волну на синусоидальные. Теоретически вы можете использовать какую-то другую ортонормированную основу - см. Комментарий @ supercat ниже.
Шридхар

Ответы:

30

Синусоидальные волны не имеют гармоник, потому что именно синусоидальные волны, которые в совокупности могут создавать другие формы волны. Основная волна - это синус, поэтому вам не нужно ничего добавлять, чтобы сделать ее синусоидальным сигналом.

Про осциллограф. Многие сигналы имеют большое количество гармоник, некоторые, как прямоугольная волна, в теории бесконечны.

введите описание изображения здесь

Это частичная конструкция прямоугольной волны. Синий синус, который показывает 1 период, является основным. Тогда есть третья гармоника (у прямоугольных волн нет даже гармоник), фиолетовая. Его амплитуда составляет 1/3 от основной, и вы можете видеть, что она в три раза превышает частоту основной, потому что она показывает 3 периода. То же самое для пятой гармоники (коричневый). Амплитуда составляет 1/5 от основной и показывает 5 периодов. Добавление их дает зеленую кривую. Это еще не хорошая прямоугольная волна, но вы уже видите крутые края, и волнистая горизонтальная линия в конечном итоге станет полностью горизонтальной, если мы добавим больше гармоник. Так вот, как вы увидите прямоугольную волну на прицеле, если будет показана только пятая гармоника. Это действительно минимум, для лучшей реконструкции вам понадобится больше гармоник.

Как и любой несинусоидальный сигнал, AM-модулированный сигнал создает гармоники. Фурье доказал, что каждый повторяющийся сигнал может быть разложен на фундаментальную (ту же частоту, что и форма волны) и гармоники, частоты которых кратны фундаментальной. Это относится даже к неповторяющимся сигналам. Поэтому, даже если вы не видите, как они выглядят, анализ всегда возможен.

введите описание изображения здесь

Это основной АМ-сигнал, а модулированный сигнал является произведением несущей и сигнала основной полосы частот. В настоящее время

sin(fC)sin(fM)=cos(fCfM)cos(fC+fM)2

Таким образом, вы можете видеть, что даже произведение синусов можно выразить как сумму синусов, то есть оба косинуса (их гармоника может быть смещена по фазе, в данном случае на 90 °). Частоты и являются боковыми полосами слева и справа от несущей частоты .(fCfM)(fC+fM)fC

введите описание изображения здесь

Даже если ваш сигнал основной полосы является более сложным, вы можете разделить модулированный сигнал на отдельные синусоиды.

stevenvh
источник
9
@JohnQuinn, в реальной жизни прямоугольная волна состоит из спектрального содержания, как показано. Для мгновенного изменения сигнала от 0 В до 5 В требуется бесконечное количество энергии, в действительности существует некоторое время нарастания прямоугольной волны, и это определяет количество требуемого спектрального содержимого. Высокоскоростные цифровые сигналы могут быть дьяволом для нежелательной излучаемой передачи, если это разрешено, потому что быстрое время нарастания означает, что вы движетесь на очень высоких частотах.
Кортук
2
@JohnQuinn, любой существующий сигнал может быть составлен из синусоидальных волн, вот как мы смотрим на то, что спектральное содержание сигнала (т. Е. Количество существующих частот), и большинство цепей можно рассматривать как влияющие на частоты по-разному. , Когда я выступал в качестве ассистента преподавателя, я обнаружил, что чаще всего учил пониманию частотной области быть топ-5 по тем вещам, которые позволяют электротехнику быть великим.
Кортук
4
@ Джон - Никто не составляет сигнал от гармоник, но математика говорит, что они там. Частотный спектр будет бесконечно широк. Если вы пропустите такой сигнал через фильтр нижних частот, его форма изменится, потому что гармоники обрезаны. Ограниченная пропускная способность области работает как фильтр нижних частот.
Stevenvh
2
@ Джон - Да, это может показаться неправдоподобным, но если вы включаете и выключаете один раз в секунду, этот сигнал будет иметь синусоидальную частоту 1 Гц. Синус 3 Гц и т. Д. Вы можете изолировать каждый из них, пропустив прямоугольную волну через узкий полосовой фильтр. Если бы вы фильтровали частоту от 0,8 Гц до 1,2 Гц, вы бы ясно увидели синус 1 Гц! Это все вина Фурье, правда! ;-)
stevenvh
6
«Потому что именно синусоидальные волны могут создавать другие формы волны». На самом деле, вы также можете использовать любой другой полный набор ортонормированных волн (например, вейвлеты). Причина, по которой тригонометрические функции / комплексные экспоненты являются наиболее популярными, заключается в том, что они являются собственными векторами дифференциального оператора, поэтому преобразование Фурье немедленно решает линейные дифференциальные уравнения. Но если бы они не были такими важными, вероятно, преобладало бы какое-то другое преобразование.
оставил около
23

Ответ Pentium100 довольно полный, но я бы хотел дать более простое (хотя и менее точное) объяснение.

Причина, по которой синусоиды имеют (в идеале) только одну гармонику, заключается в том, что синус - это «самый плавный» периодический сигнал, который вы можете иметь, и поэтому он является «лучшим» с точки зрения непрерывности, выводимости и т. Д. По этой причине удобно выражать волновые формы в виде синусоидальных волн (вы можете сделать это и с другими волнами, а также с ).C

Просто пример: почему в воде вы обычно видите изогнутые волны? (ради этого игнорируйте эффект пляжа или ветра) Опять же, это потому, что форма требует меньше энергии для формирования, так как все скаты и края гладкие.

В некоторых случаях, например, орган Хаммонда , синусоиды фактически используются для составления сигнала, потому что при разложении возможно синтезировать много (практически всех) звуков.

Есть красивая анимация от LucasVB, объясняющая разложение Фурье прямоугольной волны:

Эти изображения лучше объясняют разложение прямоугольной формы по гармоникам:

введите описание изображения здесь

введите описание изображения здесь

клабаккио
источник
18

Вы можете разложить любую форму волны на бесконечную серию синусоид, сложенных вместе. Это называется анализом Фурье (если исходный сигнал повторяется) или преобразованием Фурье (для любого сигнала).

В случае повторяющегося сигнала (например, прямоугольной волны), когда вы выполняете анализ Фурье, вы обнаруживаете, что все синусы, составляющие сигнал, имеют частоты, которые являются целым числом, кратным частоте исходного сигнала. Они называются «гармониками».

Синусоидальная волна будет иметь только одну гармонику - основную (ну, это уже синус, поэтому она состоит из одного синуса). Прямоугольная волна будет иметь бесконечный ряд нечетных гармоник (то есть, чтобы сделать прямоугольную волну из синусов, вам нужно добавить синусы каждого нечетного кратного основной частоты).

Гармоники генерируются путем искажения синусоиды (хотя вы можете генерировать их отдельно).

Почему это важно:

  1. Вы можете создать синусоидальную волну из любой волны фиксированной частоты, если у вас есть фильтр, который пропускает основную частоту, но блокирует 2-кратную частоту (как если бы вы оставили только одну гармонику на месте).
  2. На самом деле, вы можете создать синусоидальную волну, которая имеет частоту, отличную от оригинальной - просто используйте полосовой фильтр, чтобы пропустить нужную вам гармонику. Вы можете использовать это, чтобы получить синусоидальную частоту, кратную частоте другого синуса - просто исказите исходный синус и выберите нужную гармонику.
  3. ВЧ-системы должны выдавать сигналы, которые не содержат гармоник за пределами допустимого диапазона частот. Вот как источник питания ШИМ (рабочая частота ~ 100 кГц, прямоугольная волна) может создавать помехи FM-радио (рабочие частоты 88–108 МГц, 11–12 МГц (ПЧ)).
  4. Если вы хотите иметь прямоугольную волну с очень быстрым временем нарастания / спада, полоса пропускания вашей системы должна быть намного шире, чем основная частота вашей прямоугольной волны.
Pentium 100
источник
Я читаю это как «у помадки есть гармоники, потому что, если вы смешиваете шоколад с чрезвычайной силой, трение превращает его в помадку», почему имеет значение, что синусы могут создавать квадраты, если все, что я использую, это квадрат? Не потому ли, что время нарастания не является мгновенным, имеет значение, что оно не «идеально» и эквивалентно xyz числу синусоидальных волн? Я до сих пор не понимаю, почему выход прямоугольной волны 100 кГц в космос может генерировать другие частоты, 100 кГц = 100 к циклов в секунду, как на земле электрические поля начинают колебаться на гармониках? Grr! Возможно, придется прочитать их еще несколько раз ..
Джон Куинн
1
@JohnQuinn объяснение довольно точное, но, очевидно, не все так просто ... попробуйте посмотреть вики на предмет преобразования / анализа Фурье
clabacchio
@JohnQuinn, так как меандр это много частот. Синусоида является фундаментальной; чтобы сделать другие формы волны, вам нужно добавить другие синусоиды. Ответ Pentium объясняет, как прямоугольная волна состоит из нечетных гармоник фундаментальной. Это именно то, что есть.
Рори Олсоп
1
@JohnQuinn, вы не беспечны, частотная область - это не то, что кто-то должен мгновенно понять. Квадратные волны просты для понимания, потому что вы можете генерировать один из них путем включения и выключения переключателя. Мне не нравится говорить кому-то, что вам нужна сумма синусоидальных волн для генерации сигнала, сигнал генерируется какими-то средствами, в данном случае легко с помощью переключателя, но он может быть разложен на набор синусоидальных волн и для многих проблем, связанных с это как набор частот делает вещи намного проще.
Кортук
1
Возможно, стоит отметить, что любая волна также может быть разложена на серию многих других типов волн; синусоиды вряд ли являются уникальными в этом отношении. Что делает синусоидальные волны уникальными, так это то, что если две синусоидальные волны объединяются и подаются в линейную цепь, выходные данные, полученные в результате объединения, будут совпадать с суммой выходных сигналов, которые будут получены от отдельных волн, за вычетом выходного сигнала (обычно это уровень постоянного тока). ) это будет произведено без участия. Другие виды форм волн обычно добавляют дополнительные взаимодействия.
суперкат
7

Производная - скорость изменения - синусоиды является другой синусоидой с той же частотой, но сдвинутой по фазе. Реальные компоненты - провода, антенны, конденсаторы - могут следить за изменениями (напряжения, тока, напряженности поля и т. Д.) Производных, а также за исходным сигналом. Скорости изменения сигнала, скорости изменения сигнала, скорости изменения скорости изменения сигнала и т. Д. Все существуют и являются конечными.

Гармоники прямоугольной волны существуют потому, что скорость изменения (первая производная) прямоугольной волны состоит из очень высоких, внезапных пиков; бесконечно высокие пики, в предельном случае так называемой идеальной прямоугольной волны. Реальные физические системы не могут следовать за такими высокими скоростями, поэтому сигналы искажаются. Емкость и индуктивность просто ограничивают их способность быстро реагировать, поэтому они звонят.

Точно так же, как колокол не может быть ни смещен, ни искажен со скоростью, с которой он ударился, и поэтому он накапливает и высвобождает энергию (вибрируя) с более медленной скоростью, так и цепь не реагирует со скоростью, с которой он поражается шипы, которые являются краями прямоугольной волны. Это также звонит или колеблется, поскольку энергия рассеивается.

Один концептуальный блок может исходить из концепции гармоник, которые по частоте выше, чем фундаментальные. То, что мы называем частотой прямоугольной волны, - это количество переходов, которые она совершает за единицу времени. Но вернемся к этим производным - скорость изменения сигнала огромна по сравнению со скоростью изменения синусоиды на той же частоте. Здесь мы сталкиваемся с более высокими частотами компонентов: эти высокие скорости изменения имеют признаки более высоких частот синусоидальных волн . Высокие частоты обусловлены высокими скоростями изменения квадратного (или другого несинусоидального) сигнала.

Быстрый нарастающий фронт типичен не для синусоиды на частоте f , а для синусоиды гораздо более высокой частоты. Физическая система следует этому как можно лучше, но, будучи ограниченным по скорости, гораздо больше реагирует на низкочастотные компоненты, чем на более высокие. Поэтому мы замедляем людей, видим большую амплитуду, более низкие частотные характеристики и называем это f !

JRobert
источник
«Быстрый нарастающий фронт характерен не для синусоиды на частоте f, а для синусоиды гораздо более высокой частоты». Это не правда. На изображении в моем ответе вы можете видеть, что все синусы имеют одинаковый наклон. Это бесконечная сумма всех этих склонов, которая делает его бесконечно крутым.
Стивенвх
Но это моя точка зрения - уклон не типичен для синусоиды - хорошо, я переоценил его выше - при любом «f». Это намного выше, суть в том, что физическая система не может точно отслеживать ROC.
JRobert
У меня был тот же вопрос, который задал ОП. Я нашел ваш ответ лучшим, не оскорбляя других, но тот факт, что мы можем представлять квадратные волны как бесконечную сумму синусоид, часто является первым, что мы узнаем, имея дело с анализом Фурье, легко понять, что чем больше синусоиды вы добавляете ближе к идеальной прямоугольной волне. То, что не является интуитивным, это именно то, что спросил ОП Есть ли в природе гармоники или это просто математический инструмент, помогающий нам анализировать явления? Пока вы не начнете думать о темпах изменений, я не думаю, что вы сможете ответить на этот вопрос должным образом.
Жоао Педро
5

С практической точки зрения, причина, по которой гармоники «появляются», заключается в том, что схемы линейной фильтрации (а также множество схем нелинейной фильтрации), предназначенные для обнаружения определенных частот, будут воспринимать определенные низкочастотные сигналы как интересующие их частоты. Чтобы понять почему, представьте себе большую пружину с очень тяжелым весом, которая прикреплена к рукоятке через довольно свободную пружину. Вытягивание за ручку не будет сильно перемещать тяжелый груз напрямую, но большая пружина и груз будут иметь определенную резонансную частоту, и если вы будете перемещать ручку назад и вперед на этой частоте, вы можете добавить энергию к большому весу и пружине. увеличивая амплитуду колебаний до тех пор, пока она не станет намного больше, чем можно было бы произвести «напрямую», потянув за свободную пружину.

Наиболее эффективный способ передачи энергии в большую пружину - это вытягивание плавного рисунка, соответствующего синусоиде - того же рисунка движения, что и у большой пружины. Другие модели движения будут работать, однако. Если перемещать ручку по другим схемам, часть энергии, которая поступает в узел с пружинным грузом во время частей цикла, будет отводиться во время других. В качестве простого примера, предположим, что человек просто заклинивает рукоятку до крайних концов хода со скоростью, соответствующей резонансной частоте (эквивалентной прямоугольной волне). Перемещение рукоятки от одного конца к другому так же, как вес достигает конца хода, потребует намного больше работы, чем ожидание того, чтобы вес сначала сдвинулся назад, но если в этот момент рукоять не переместится, пружина на ручке будет бороться с весом " Попытка вернуться в центр. Тем не менее, четкое перемещение ручки из одного крайнего положения в другое, тем не менее, будет работать.

Предположим, что весу требуется одна секунда, чтобы качаться слева направо, и еще одна секунда, чтобы качаться назад. Теперь рассмотрим, что случится, если один переместит ручку из одного крайнего движения в другое, которое раньше, но задержится на три секунды с каждой стороны вместо одной секунды. Каждый раз, когда кто-то перемещает рукоятку из одной крайности в другую, вес и пружина будут по существу иметь то же положение и скорость, что и две секунды ранее. Следовательно, к ним будет добавлено столько энергии, сколько было бы за две секунды до этого. С другой стороны, такое прибавление энергии будет происходить только на треть чаще, чем когда «задержка времени» составляла всего одну секунду. Таким образом, перемещение рукоятки назад и вперед с частотой 1/6 Гц добавит к весу в три раза больше энергии в минуту, чем при перемещении рукоятки назад и вперед с частотой 1/2 Гц. Подобное происходит, если перемещать рукоятку назад и вперед на 1/10 Гц, но, поскольку движения будут на 1/5 так же часто, как на 1/2 Гц, мощность будет 1/5.

Теперь предположим, что вместо того, чтобы время задержки было нечетным кратным, каждый делает его четным (например, две секунды). В этом сценарии положение веса и пружины для каждого движения слева направо будет таким же, как и его положение при следующем движении справа налево. Следовательно, если ручка добавляет энергию к пружине в первой, такая энергия будет по существу отменена последней. Следовательно, весна не будет двигаться.

Если вместо того, чтобы совершать экстремальные движения с рукояткой, ее перемещают более плавно, то при более низких частотах движения рукоятки может быть больше раз, когда кто-то борется с движением комбинации вес / пружина. Если перемещать рукоятку в форме синусоидальной волны, но на частоте, существенно отличающейся от резонансной частоты системы, энергия, передаваемая в систему при нажатии «правильного» пути, будет довольно хорошо уравновешена принимаемой энергией. выход из системы толкает «неправильный» путь. Другие модели движения, которые не так экстремальны, как прямоугольная волна, будут, по крайней мере, на некоторых частотах, передавать в систему больше энергии, чем вынимается.

Supercat
источник
1

Еще более простая аналогия - представить батут.

электрификация проводника аналогична растяжению батутной мембраны, при этом «растягивается» (искажается) энергетическое поле, связанное с этим проводом.

встаньте посреди батута, наклонитесь и возьмите мембрану батутного пола. Теперь встаньте и потяните / растяните его, когда вы идете, чтобы был пик на уровне вашей талии.

это, конечно, приводит к накоплению энергии в мембране.

теперь, если вы просто отпустите его, он не просто плавно опустится и перестанет двигаться. он быстро сломается и затем будет вибрировать ... колебаться взад-вперед еще несколько раз "сам по себе" ... по мере истощения накопленной энергии.

если вместо этого вы постепенно опускаете его обратно на место ... он не может резко сломаться, и поэтому ничто не вызывает / не позволяет ему вибрировать "самостоятельно". единственная вибрация, которую он совершает - это то, что ты двигаешь его.

все частоты (любой формы волны) имеют математические гармоники, формы волны с внезапными потенциальными изменениями предоставляют более легкую возможность для этих гармоник быть выраженными в виде колебаний реального мира.

джон
источник
1
Вы привели аналогию о том, как вещи вибрируют. Вибрация не обязательно приводит к гармоникам. Вибрация может быть одним тоном.
Ник Алексеев
1

Просто дополнение к этому вопросу,

Являются ли эти гармоники несущественными в таких вещах, как передача данных (высокий = 1, низкий = 0), и имеют значение только в таких ситуациях, как аудио или RF?

что я думаю никто не сказал: это не имеет значения. Обычно мы заинтересованы в передаче импульсов в цифровых цепях, поэтому в большинстве случаев мы не принимаем во внимание эту волновую феноменологию. Это потому, что, хотя у прямоугольной волны есть свои гармоники (а не бесконечное число гармоник в реальном мире), поэтому потребуется некоторое время, чтобы подняться / упасть, ваша схема обычно «осознает» это. Это одно из величайших преимуществ цифровой электроники / цифровой связи: от заданной точки (напряжения) сигнал интерпретируется как 1, а от заданной точки - 0. В большинстве случаев это не имеет большого значения для точного формата. прямоугольной волны, поскольку она соответствует определенным временным характеристикам.

Но обратите внимание, что если ваша квадратная частота сигнала возрастает до точки, где длина волны приблизительно равна порядку величины ее линии передачи (может быть проводящей дорожкой печатной платы), то вы можете принять во внимание эту волновую феноменологию. У вас все еще есть цепь в вашей руке, но могут возникнуть некоторые волновые явления. Таким образом, в зависимости от вашего «линейного» импеданса, некоторые частоты могут иметь разную скорость распространения других частот. Поскольку прямоугольная волна состоит из множества гармоник (или, в идеале, бесконечности), вы, вероятно, будете иметь искаженную прямоугольную волну в конце вашей линии передачи или проводящей дорожки (потому что каждая гармоника будет двигаться с разной скоростью).

Хороший пример, где это может произойти, - когда мы используем передачу данных USB в цепи. Обратите внимание, что скорость передачи данных очень высока (высокочастотные прямоугольные волны), поэтому вы должны учитывать импеданс вашей линии передачи. В противном случае у вас, вероятно, будут проблемы в общении.

Короче говоря, все это имеет значение, и все это работает вместе, но вы должны проанализировать, важны ли эти вещи в вашем проекте / анализе или нет.

Felipe_Ribas
источник