Производственная функция CES с

10

Используя производственные функции CES вида , мы всегда предполагаем, что . Почему мы делаем это предположение? Я понимаю, что если , производственная функция больше не будет вогнутой (и, следовательно, производственный набор не будет выпуклым), но что это означает для функций прибыли и затрат?f(x1,x2)=(x1ρ+x2ρ)1/ρρ1ρ>1

Шер афганский
источник
3
ρ выше одного приведет к угловому решению, где будет выбран только один вход с положительным количеством. Так как суть мульти-хороших производственных функций обычно заключается в моделировании обстоятельств, когда фактически используются два входа, это нежелательная особенность.
BKay
Будет ли решение проблемы максимальной прибыли?
Шер Афган
@SherAfghan, линейная функция с видимому, не принадлежит семейству CES, поскольку ее эластичность замещения не постоянна. ρ=1
Гарей

Ответы:

3

Проблема с заключается в том, что это означает, что предельное произведение факторов не уменьшается ( ) или не константа ( ), а увеличивается, что является странным предположением. Такие функции дают изокванты, которые являются вогнутыми и могут привести к использованию только одного фактора (как сказал BKay).ρ>1ρ<1ρ=1

Как и в любых общих CES, предельный продукт фактора являетсяxi

MPi=(yxi)1ρ

Производная этого MP по после некоторой перестановкиxi

(ρ1)(yxi)1ρ(xixiyρ)

Для это выражение является положительным, что означает, что производительность фактора увеличивается с увеличением его использования.ρ>1

Что касается изоквант, вы можете найти их, переписав производственную функцию как . В общем CES этоx2=g(y,x1)

x2=(yρx1ρ)1ρ

Они являются линейными в случае , выпуклыми в случае Кобба-Дугласа (где вышеупомянутая функция - , гипербола) и вогнутыми в случае . Например, выберите и вы получите:ρ=1x2=yx1ρ>1ρ=2

x22=y2x12

которая является формулой круга с центром в , с радиусом . Обычно для теории производства интересен только , который дает вам вогнутые изокванты для разных уровней . На рисунке ниже показан пример, где для данного коэффициента цены есть угловое решение (точка А):(0,0)x i0 yyxi0y

введите описание изображения здесь

(Код для воспроизведения рисунка здесь )

luchonacho
источник
3

Вот моя попытка ответить на этот вопрос, он неполный и / или неправильный, поэтому, пожалуйста, помогите внести предложения, и я отредактирую это.

Минимизация затрат

Поскольку не является квазивогнутым, соответствующие изоквантовые кривые не будут выпуклыми по отношению к началу координат (т.е. их верхний набор контуров не будет выпуклым). В этом случае фирма должна использовать угловое решение и требования условного фактора будут представлены как; Эти требования условного фактора дают функцию стоимости; Максимизация прибылиx 1 ( p , y ) = q 2f(x1,x2)

x1(p,y)=q2andx2(p,y)=0ifw1<w2
x1(p,y)=0andx2(p,y)=q2ifw1>w2
x1(p,y)=0,x2(p,y)=q2orx1(p,y)=q2,x2(p,y)=0ifw1=w2
C(w,y)=min[w1q2,w2q2]

Я действительно смущен здесь. Хотя производственная функция является выпуклой, но она по-прежнему демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. . То есть решение все еще будет существовать (верно?). Так как же не вогнутость производственной функции влияет на решение, максимизирующее прибыль?f(tx1,tx2)<tf(x1,x2)t>1

Шер афганский
источник
1
Ваше заблуждение легко прояснить: помните, что выпуклые предпочтения не подразумевают вогнутую функцию полезности. Они только подразумевают, что верхние наборы контуров являются выпуклыми. Аналогично, для рассматриваемой производственной функции рассмотрим . контролирует, является ли функция вогнутой или выпуклой, контролирует, является ли набор контуров выпуклым. (x1ρ+x2ρ)θ/ρθρ
HRSE
Я не понимаю, вогнутая функция подразумевает, что верхний набор контуров выпуклый. означает, что функция является вогнутой, а это означает, что она является квазивогнутой, то есть наборы верхнего контура для набора уровней являются выпуклыми. Насколько я понимаю, в вашем примере производит монотонное преобразование исходной функции, которая может быть или не быть вогнутой. В любом случае, как это влияет на решения, максимизирующие прибыль? ρ<1θ
Шер Афган
Предположим, . Определенный выше агрегат приближает функцию max к степени . Таким образом, верхние контурные множества не выпуклые. Теперь для каждого вы можете найти достаточно маленькую такую, что функция имеет увеличивающийся или уменьшающийся возврат к масштабу. Таким образом, возврат к масштабу не связан с выпуклостью наборов верхних контуров. θ ρ θρθρθ
HRSE
Понимаю. Таким образом, даже если , мы можем получить решение, максимизирующее прибыль, в зависимости от значения . Прав ли я, говоря, что у нас будет решение (производственная функция будет показывать убывающую отдачу от масштаба), если , с другой стороны, если , производственная функция будет показывать возрастающую отдачу от масштаба, и будет не быть решением проблемы прибыли Макс? θ θ 1 θ > 1ρ>1θθ1θ>1
Шер Афган
1
Существует ли решение проблемы максимизации прибыли дополнительно зависит от структуры рынка. Проблема максимизации прибыли монополиста обычно все еще хорошо определена, в то время как для компаний, принимающих цены, это не так.
HRSE
0

Короче говоря, для не будет никакого решения для максимизации прибыли в краткосрочной перспективе (как минимум один фактор фиксирован) для конкурентного случая (цена фиксирована ).ρ1

Чтобы перейти от производственной функции к функции стоимости, нам нужно ввести факторные цены ( и для примеров из учебников) и решить задачу оптимизации. Обширную экспозицию можно найти здесь .шrw

Чтобы построить интуицию, давайте возьмем и исправим один фактор. Чтобы иметь дело с прибылью , мы должны ввести цены на производимые товары, а также . Таким образом, проблема может выглядеть следующим образом ( ):π ( q ) p > 0 ρ = 2w=1π(q)p>0ρ=2

π(q)=pq1(q21)1/2

Можно показать, что для функции прибыли такого рода SOC имеет вид: , что означает, что глобального максимума нет (хотя минимум существует).π>0


Чтобы увидеть тот же эффект в более простом примере ( не производном от CES), рассмотрим следующее:

π(q)=pq2q1/2

SOC есть .π=(1/2)q3/2>0

Обратите внимание на но не, скажем, на как обычно. Давайте сравним эти два случая для на графике, чтобы оценить разницу. q1/2q2p=1.7введите описание изображения здесь

garej
источник