Предположение о логарифмической норме в оценке активов на основе потребления

Рассмотрим очень простую проблему максимизации потребителя с дискретным временем с помощью утилиты CRRA. Со временем существует рискованный актив $t$ цена $p_t$ это платит время $t+1$ дивиденд $d_{t+1}$ и безрисковый актив с ценой $p_t^f$ который платит постоянную выплату 1 в $t+1$ , Мы предполагаем, что дивиденды представляют собой последовательность случайных величин, которые следуют марковскому процессу. Предположим далее, что у потребителя нет других потоков дохода (т.е. $y_t = 0 \ \forall t$ ). В момент времени t потребитель инвестирует сумму $\pi_t$ в рискованном активе и сумме $\pi_t^0$ в безрисковом активе. Следовательно, проблема максимизации может быть сформулирована как

\begin{aligned} \underset{{с_{T}, π}_{0}^{\infty}}{Максимум} Е_{0} Σ_{T знак равно 0}^{\infty} β^{T} \frac{с_{T}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s, T & с_{T} + π_{T} п_{T} + π_{T}^{0} п_{T}^{0} знак равно (d_{T} + п_{T}) π_{T - 1} + π_{T - 1}^{0} \\ с_{T} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Допустим, мы хотим найти равновесную безрисковую ставку и ожидаемую премию к акциям. Чтобы закрыть модель, часто предполагается, что предполагается (см., Например, книгу Клауса Мунка, глава 8.3 « Теория ценообразования финансовых активов» ), что рост потребления журналов и валовой доход, связанный с рисками, совместно обычно распределяются. Т.е.

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

где валовая прибыль определяется как

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Что я не совсем понимаю, так это то, откуда берутся предположения о нормальном распределении. Я знаю, что, поскольку это типичная агентская экономика, потребление агента должно равняться совокупному дивиденду в экономике. Но так как мы предположили, что нет дохода, $y_t = 0 \ \forall t$ единственный экзогенный процесс дивидендов в экономике $d_t$ и, следовательно, он должен иметь такое же распределение, что и рост потребления. Тем не менее, у меня сложилось впечатление, что когда мы говорим, что рискованная ставка имеет логарифмически нормальное распределение, это фактически означает процесс дивидендов, поскольку это «случайная часть» в определении доходности (цена $p_{t+1}$ не является экзогенным, но определяется внутри модели). Теперь мне кажется, что мы сделали два разных предположения об одном и том же процессе пожертвований. $d_t$ , Откуда исходит предположение о потреблении или что оно означает? Как бы изменилась ситуация, если бы у потребителя был какой-то поток дохода $y_t > 0$ ?

macroeconomics consumer-theory asset-pricing VVV
источник

Ответы:

Типичный двухпериодный лагранжиан

Λ знак равно β^{T} \cdot (\frac{с_{T}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{T} \cdot [(d_{T} + п_{T}) π_{T - 1} + π_{T - 1}^{0} - с_{T} - π_{T} п_{T} - π_{T}^{0} п_{T}^{0}]) + β^{T + 1} \cdot (\frac{с_{T + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{T + 1} \cdot [(d_{T + 1} + п_{T + 1}) π_{T} + π_{T}^{0} - с_{T + 1} - π_{T + 1} п_{T + 1} - π_{T + 1}^{0} п_{T + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

Условия первого порядка относительно $c_t, \pi_t$ находятся

\begin{matrix} (1) & с_{T}^{- γ} знак равно λ_{T} ⟹,,, γ пер \frac{с_{T + 1}}{с_{T}} знак равно пер \frac{λ_{T}}{λ_{T + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{T} λ_{T} п_{T} + β^{T + 1} λ_{T + 1} (d_{T + 1} + п_{T + 1}) знак равно 0 ⟹ \frac{λ_{T}}{λ_{T + 1}} знак равно β \frac{п_{T + 1} + d_{T + 1}}{п_{T}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

и поэтому, используя также определение валовой прибыли,

\begin{matrix} (3) & пер \frac{λ_{T}}{λ_{T + 1}} знак равно пер β + пер р_{T + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

Объединяя $(1)$ а также $(3)$ мы получили

\begin{matrix} (4) & пер \frac{с_{T + 1}}{с_{T}} знак равно \frac{1}{γ} пер β + \frac{1}{γ} пер р_{T + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Таким образом, мы видим, что на оптимальном пути рост потребления является прямой аффинной функцией доходности логарифмического риска. Это среди прочего подразумевает, что их коэффициент корреляции равен единице.

Нормальное распределение закрыто при аффинных преобразованиях (альтернативно, при масштабировании и сдвиге), поэтому, если мы предположим, что логарифмическая доходность обычно распределяется, то рост потребления также обычно распределяется (с разным средним и дисперсией, конечно).

Обратите внимание, что хотя в общем случае предположение о совместной нормальности является дополнительным, которое следует делать, когда две нормальные случайные величины не являются независимыми, здесь тот факт, что одна является аффинной функцией другой, гарантирует совместную нормальность. По условию Крамера для двумерной нормальности должно быть так, что все линейные комбинации двух нормальных случайных величин имеют одномерное нормальное распределение. В нашем случае мы имеем (общее обозначение) случайную переменную $Y$ и случайная величина $X = a+bY$ , Рассматривать

δ_{1} Икс + δ_{2} Y знак равно δ_{1} (a + б Y) + δ_{2} Y знак равно δ_{1} a + (δ_{1} б + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Так что для любого $(\delta_1, \delta_2)$ (кроме нулевого вектора, который исключен априори), $\delta_1X + \delta_2 Y$ следует нормальному распределению, если $Y$ делает. Таким образом, достаточно предположить, что доходы от логарифмического риска следуют нормальному распределению, чтобы получить совместную нормальность также.

Алекос Пападопулос
источник

Это старый ответ, но, как указано, этот ответ является ложным. Вы должны быть осторожны при использовании множителей Лагранжа при наличии стохастических элементов. Если вы сделаете расчет правильно, вы получите только стандартное уравнение оценки активов

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$ - в ваших расчетах вы теряете ожидания, потому что не будете осторожны с оптимизацией. (Другой способ сказать, что проблема оптимизации должна иметь

s + 1

$s+1$ ограничения вместо

2

$2$ , где

s

$s$ количество возможных состояний природы в период

t + 1

$t+1$ .)

Звездопад

@Starfall Спасибо за вклад. Старый или нет, ошибочный контент должен быть исправлен. Я еще раз проверю ответ и посмотрю, что я могу сделать. На первый взгляд, я думаю, вы имеете в виду, что ковариация между

t + 1

$t+1$ множитель и

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$ условия были проигнорированы.

Алекос Пападопулос

Это не просто ковариация, которая была проигнорирована - если бы это была единственная проблема, вы бы в конечном итоге

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$ , который связывает только ожидаемое значение коэффициента дисконтирования с ожидаемой доходностью, в то время как ваш ответ заканчивается

m R = 1

$mR = 1$ ex post связь между коэффициентом дисконтирования и доходностью, которая сохраняется в каждом состоянии природы. Проблема просто в том, что вы не можете использовать множители Лагранжа со стохастическими переменными, не будучи в явном виде о различных состояниях природы в задаче.

Звездопад

В случае, если терминология неясна,

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$ ,

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$ в этой проблеме.

Звездопад

@ Starfall хмм ... проблема здесь в том, что фактически следуют дистрибутивы, а не решение ex ante ... я обдумаю это и уточню позже.

Алекос Пападопулос

Недавно я подготовил статью о распределении доходов по всем классам активов и пассивов. Лог-нормальный возврат появляется только в двух случаях. Первый - с однопериодными дисконтными облигациями, второй - со слияниями на бирже. Это исходит из предположения, которое, как я полагаю, изначально Бонесс решил устранить в Марковице проблему бесконечно отрицательных цен. Хотя это было логически получено, у него есть критическое предположение, которое вообще делает его неверным.

Большинство финансовых моделей предполагают, что параметры известны с вероятностью один. Вам не нужно оценивать $\mu$ с $\bar{x}$ потому что это предполагается известным. На первый взгляд, это не проблема, потому что это общая методология методов, основанных на нулевой гипотезе. Вы утверждаете, что null - это true, и, следовательно, параметры известны, и выполняется проверка на это значение null.

Трудность возникает, когда параметры неизвестны. Оказывается, в общем случае доказательство рушится без этого предположения. То же самое верно для Блэка-Шоулза. Я представляю доклад на конференции SWFA этой весной, где я утверждаю, что если предположения формулы Блэка-Шоулза в буквальном смысле верны, то не может существовать оценка, которая сходится к параметру совокупности. Все просто предполагали, что формула при совершенном знании равняется оценке параметра. Никто никогда не проверял его свойства. В своей первоначальной работе Блэк и Шоулз эмпирически протестировали свою формулу и сообщили, что она не работает. Когда вы отбрасываете предположение, что параметры известны, математика получается иначе. Достаточно отличается, чтобы не иметь возможности думать об этом одинаково.

Давайте рассмотрим случай торговли акциями на NYSE. Это продано в двойном аукционе, таким образом, проклятие победителя не получает. Из-за этого рациональное поведение заключается в создании предельного ордера, цена которого равна $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ , Есть много покупателей и продавцов, поэтому лимитная книга должна быть статически нормальной, или, по крайней мере, она станет такой, когда число покупателей и продавцов станет бесконечным. Так $p_t$ статически нормально о $p_t^*$ , равновесная цена.

Конечно, мы проигнорировали распределение $(q_t,q_{t+1})$ , Если вы игнорируете разделение и дивиденды по акциям, то он либо продолжает существовать, либо нет. Таким образом, вы должны создать смешанное распределение для складских запасов, денежных средств для акций и банкротства. Мы будем игнорировать эти случаи для простоты, хотя это исключает возможность решить модель оценки опциона.

Итак, если мы ограничимся $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$ и отбросим все дивиденды, тогда наши доходы будут равны отношению двух нормалей к равновесию. Я исключаю дивиденды, потому что они создают беспорядок, и я исключаю такие случаи, как финансовый кризис 2008 года, потому что вы получите странный результат, который будет поглощать страницу за страницей текста.

Теперь упростим наш вывод, если мы переведем наши данные из $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ в $(0,0)$ и определить $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$ мы можем легко увидеть распределение. При отсутствии ограничения по обязательствам или межвременного бюджетного ограничения, по известной теореме, плотность доходов должна быть распределением Коши, которое не имеет ни среднего значения, ни дисперсии. Когда вы переводите все обратно в пространство цен, плотность становится

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (р_{T} - μ)^{2}},

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Поскольку это не значит, вы не можете принимать ожидания, выполнять в или F тест, использовать любую форму наименьших квадратов. Конечно, это было бы иначе, если бы это был антиквариат.

Если бы это был антиквариат на аукционе, проклятие победителя получает. Участник, выигравший более высокую цену, выигрывает предложение, а предельная плотность высоких ставок - это распределение Гамбеля. Таким образом, вы решите ту же проблему, но как отношение двух распределений Гамбеля вместо двух нормальных распределений.

Проблема на самом деле не так проста. Ограничение ответственности усекает все основные распределения. Межвременное бюджетное ограничение искажает все основные распределения. Существует другое распределение для дивидендов, слияния за наличные, слияния для акций или имущества, банкротство и усеченное распределение Коши для непрерывной деятельности, как указано выше. Существует шесть типов распределения долевых ценных бумаг в смеси.

Разные рынки с разными правилами и разными экзистенциальными состояниями создают разные распределения. У античной вазы есть тот случай, когда ее роняют и разбивают. Это также имеет случай износа или некоторых других изменений в собственном качестве. Наконец, это также имеет место, что, если достаточно много похожих ваз разрушено, центр центра перемещается.

Наконец, из-за усечения и отсутствия достаточной статистики для параметров не существует вычислимой и допустимой небайесовской оценки.

Вы можете найти производную отношения двух нормальных переменных и объяснение на http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Вы также можете найти то, что кажется первым документом по теме на

Кертисс, Дж. Х. (1941) О распределении фактора двух случайных величин. Анналы математической статистики, 12, 409-421.

Существует также дополнительный документ на

Гурланд Дж. (1948) Инверсионные формулы для распределения отношений. Анналы математической статистики, 19, 228-237

Для авторегрессионной формы для методов вероятностного и частого

Уайт, Дж. С. (1958) Предельное распределение коэффициента последовательной корреляции во взрывчатом случае. Анналы математической статистики, 29, 1188-1197,

и его обобщение Рао в

Рао, М. М. (1961) Согласованность и предельные распределения оценок параметров во взрывных стохастических разностных уравнениях. Анналы математической статистики, 32, 195-218

Моя статья использует эти четыре и другие статьи, такие как статья Купмана и одна Джейнса, для построения распределений, если истинные параметры неизвестны. Он отмечает, что приведенная выше Белая книга имеет байесовскую интерпретацию и допускает байесовское решение, даже если не существует байесовского решения.

Обратите внимание, что $\log(R)$ имеет конечное среднее значение и дисперсию, но не имеет ковариационной структуры. Распределение является гиперболическим секущим распределением. Это также хорошо известный результат в статистике. Это не может быть гиперболическим секущим распределением из-за побочных явлений, таких как банкротство, слияния и дивиденды. Экзистенциальные случаи аддитивны, но журнал подразумевает мультипликативные ошибки.

Вы можете найти статью о гиперболическом распределении секущих на

Дин, П. (2014) Три вхождения гиперболического секущих распределения. Американский статистик, 68, 32-35

Моя статья на

Харрис Д. (2017) Распределение доходов. Журнал математических финансов, 7, 769-804

Прежде чем читать мою, вы должны сначала прочитать вышеупомянутые четыре статьи. Также не помешало бы прочесть книгу ET Jaynes. К сожалению, это полемическая работа, но, тем не менее, она строгая. Его книга:

Джейнс, ET (2003) Теория вероятностей: язык науки. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 205-207

Дейв Харрис
источник