Угадай и проверь

В динамическом программировании метод неопределенных коэффициентов иногда называют «угадай и проверь». Я периодически слышал, что есть какие-то канонические предположения.

В частности, я видел

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Первый относится к утилите журналов, а второй связан с настройками CRRA. Какие еще канонические предположения существуют и связаны ли они с конкретной формой функции возврата?

Редактировать : Для тех, кто не знаком с динамическими программами, мы пытаемся найти закрытые формы для коэффициентов ( например, и ). Для упрощения, функциональное уравнение обычно принимает общий вид где описывает эволюцию переменной состояния . По сути, значение нахождения в состоянии сегодня зависит от сегодняшней возвращаемой функции и некоторого дисконтированного значения того, что будет завтра . $A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ представляет любые другие переменные, не относящиеся к состоянию, которые, по вашему мнению, влияют на возврат.

Иногда можно получить решение в замкнутой форме для $V(k)$ (... примечание: мы не просто решаем для $V(k)$ так как правая часть является максимизированной величиной). Обычно это включает в себя знание кое-чего о возвращаемой функции $F(k,u)$ а затем делает предположение о функциональной форме $V(k)$ . Затем мы можем повторить, чтобы увидеть, дает ли наше предположение решение в замкнутой форме для $V(k)$ . В частности, это будет включать замкнутые формы для коэффициентов в догадке (отсюда и метод неопределенных коэффициентов).

macroeconomics dynamic-programming Пэт У.
источник

Это зависит от того, какие данные у вас есть. В общем, почти каждая функция может быть взята. Но если вы думаете, что данные распределены как служебная функция, вы можете принять В этом случае вы можете линеаризовать уравнение: Для оценки коэффициентов и вы можете применить метод наименьших квадратов: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

callculus

@calculus Он не спрашивает об оценке и . Он спрашивает о динамическом программировании и методе угадывания и проверяет как метод, чтобы получить функцию значения, которая соответствует определенным функциям полезности.

α

$\alpha$

β

$\beta$

cc7768

@ cc7768 Этот вопрос не очень конкретный. Я не знаю, что ОП подразумевает под динамическим программированием в этом контексте. Я просто хотел дать несколько советов. У меня сложилось впечатление, что ОП не знал, о чем он спрашивает. ОП может внести изменения для уточнения.

callculus

Ответы:

Другой несколько канонической формой является функция стоимости для чувствительных к риску предпочтений, когда потребление следует за случайным блужданием со смещением (существуют также версии, включающие капитал - см. Backus Ferriere Zin 2014).

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

Начните с предпочтений, заданных как Эпштейн-Зин, с функцией эквивалентности определенности вида : $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

тогда пусть дает нам $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

Сбор журналов дает нам предпочтения, чувствительные к риску, как представлено в Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000 и т.

Определите и тогда мы увидим, что: $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = \log (C_{t}) - β θ \log [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

Форма этой функции значения может быть угадана как:

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

Ссылки:

Дэвид Бэкус, Аксель Ферриер и Стэнли Зин. Риск и неопределенность в моделях бизнес-циклов. Конференция Карнеги-Рочестер-Нью-Йорк. 2014.
Ларс Люнквист и Томас Дж. Сарджент. Рекурсивная макроэкономическая теория, 3-е издание. 2013.
TD Tallarini Jr. Реальные бизнес-циклы, чувствительные к риску. Журнал монетарной экономики. 2000.
Л.П. Хансен и Т.Дж. Сарджент. Дисконтированный линейный экспоненциальный квадратичный гауссовский контроль. IEEE Trans Автоматическое управление. 1995.

Дополнительный комментарий: два приведенных вами случая более или менее охвачены предположением поскольку это сводится к журналам как . Предположения, безусловно, связаны с конкретной формой функции возврата, так как функция значения связана с функцией возврата за один период (вознаграждение), неоднократно получаемой в течение бесконечной истории (если потребление было постоянным, то оно уменьшилось бы до геометрической суммы). $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

cc7768
источник

Хороший вопрос о настройках журнала в качестве особого случая. Это отличный ответ, и я планирую держать его открытым немного дольше, чтобы увидеть, есть ли у других и другие канонические формы.

Пэт В.