Для какой функции спроса монополия наиболее вредна?

8

Рассмотрим фирму с нулевой предельной стоимостью. Если он дает продукт бесплатно, то весь спрос удовлетворяется, и социальное обеспечение увеличивается на максимально возможную сумму; назвать это увеличениеW,

Но поскольку фирма является монополией, она снижает спрос и увеличивает цену, чтобы оптимизировать свои доходы. Теперь социальное обеспечение увеличивается в меньшей степени, скажем,В,

Определите относительную потерю благосостояния (потеря собственного веса) как: W/В, Это соотношение зависит от формы функции спроса. Поэтому мой вопрос: это соотношение ограничено или оно может быть сколь угодно большим? В частности:

  • Если W/В ограничен, то для какой функции спроса она максимизируется?
  • Если W/В неограниченно, то для какого семейства функций спроса оно может стать сколь угодно большим?

Вот что я попробовал до сих пор. ПозволятьU(Икс)быть функцией предельной полезности потребителей (которая также является обратной функцией спроса). Предположим, что оно конечно, гладко, монотонно убывает и масштабируется до областиИкс[0,1], ПозволятьU(Икс)быть его антипроизводным. Затем:

монопольная потеря собственного веса

  • Wзнак равноU(1)-U(0), общая площадь под U,
  • Взнак равноU(Иксм)-U(0), где Иксмколичество, произведенное монополией. Это область подU кроме части "потеря собственного веса".
  • Иксмзнак равноArgМаксимум(ИксU(Икс)) = количество, которое максимизирует доход производителя (отмеченный прямоугольник).
  • Иксм обычно можно рассчитать, используя условие первого порядка: U(Иксм)знак равно-ИксмU'(Иксм) .

Чтобы получить представление о том, как ведет себя , я попробовал некоторые семейства функций.W/В

Пусть , где - параметр. Затем:U(Икс)знак равно(1-Икс)T-1T>1

  • U(Икс)знак равно-(1-Икс)T/T .
  • Условие первого порядка дает: .Иксмзнак равно1/T
  • Wзнак равноU(1)-U(0)знак равно1/T
  • Взнак равноU(Иксм)-U(0)знак равно(1-(T-1T)T)/T
  • W/Взнак равно1/[1-(T-1T)T]

Когда , , поэтому для этого семейства ограничено.TW/В1/(1-1/е)1,58W/В

Но что происходит с другими семьями? Вот еще один пример:

Пусть , где - параметр. Затем:U(Икс)знак равное-TИксT>0

  • U(Икс)знак равно-е-TИкс/T .
  • Условие первого порядка дает: .Иксмзнак равно1/T
  • Wзнак равноU(1)-U(0)знак равно(1-е-T)/T
  • Взнак равноU(Иксм)-U(0)знак равно(1-е-1)/T
  • W/Взнак равно(1-е-T)/(1-е-1)

Когда , снова , поэтому и здесь ограничено.TW/В1/(1-1/е)1,58W/В

И третий пример, который мне пришлось решать численно:

Пусть , где - параметр. Затем:U(Икс)знак равнопер(a-Икс)a>2

  • U(Икс)знак равно-(a-Икс)Lог(a-Икс)-Икс .
  • Условие первого порядка дает: . Используя этот граф десмоса , я обнаружил, что . Конечно, это решение действительно только тогда, когда ; в противном случае мы получим и потеря дедвейта отсутствует.Иксмзнак равно(a-Иксм)пер(a-Иксм)Иксм0,55(a-1)0,55(a-1)1Иксмзнак равно1
  • Используя тот же график, я обнаружил, что уменьшается с , поэтому его верхнее значение равно , и оно составляет приблизительно 1,3.W/Вaaзнак равно2

Есть ли другое семейство конечных функций, для которых может расти бесконечно?W/В

Эрель Сегал-Халеви
источник
Нулевые предельные издержки не подразумевают нулевые издержки производства. Кто несет бремя этих затрат, если продукт раздается бесплатно, и в каком смысле социальное обеспечение в таком случае максимизируется?
Алекос Пападопулос
«Пусть u (x) будет функцией полезности потребителей (которая также является обратной функцией спроса)». Разве это не функция полезности потребителей ?
,
маргинальный
callculus
Не читая большую часть этого материала, вредность зависит от концепции социального обеспечения и от того, как мы их оцениваем. Если мы посмотрим только на излишки домохозяйств, то меньшая эластичность цен позволяет фирмам получать больше излишков. Следовательно, функция спроса D(p) = xявляется «худшей», если сосредоточить излишки потребителя.
FooBar
@AlecosPapadopoulos By W Я имел в виду увеличение социального обеспечения только за счет торговли (возможно, мне следовало бы это назвать ΔW). В этом смысле производственные затраты не имеют значения.
Эрель Сегал-Халеви
@calculus Вы правы, я исправил это, спасибо!
Эрель Сегал-Халеви

Ответы:

4

Произвольно большое соотношение должно происходить с кривой спроса

пзнак равно{1Qесли Q>12-Qесли Q1,

Цены монополиста на пзнак равно1, но излишек потребителей, если пзнак равно0 бесконечен, потому что область под кривой спроса содержит 11QdQзнак равно,

Сандер Хейнсалу
источник
Спасибо! Есть ли ссылка, где обсуждается этот вопрос? Я ожидал, что он появится в стандартных учебниках по миркоэкономике, но не нашел его ни в одной книге, на которую смотрел.
Эрель Сегал-Халеви
Я не знаю никаких ссылок, извините.
Сандер Хейнсалу