Распространение равновесий по Нэшу на игры с бесконечными стратегиями

В учебнике Jehle and Reny (который я должен добавить, я мало читал за пределами нескольких интересных разделов) доказана теорема о том, что в играх с конечными стратегическими формами всегда существует (смешанное) равновесие Нэша. В книге предполагается, что у всех игроков одинаковое количество доступных действий, но нетрудно представить, как это можно распространить на случай, когда это не так.

Однако меня интересует, есть ли какое-то распространение на игры, особенно те, где возможен бесконечный выбор. Например, явно нет равновесия в игре, где игрок выигрывает, выбирая наибольшее число, но если у нас, например, та же самая игра, но где число должно быть в интервале (или любом интервале что содержит верхнюю границу), лучшие функции ответа "сходятся". Точно так же я бы также подозревал, что в конкурентных моделях должны быть «хорошо ведущие себя» функции затрат и спроса, чтобы получить «хорошие» результаты.$[0, 100]$

Таким образом, у меня есть два вопроса:

1. Существуют ли какие-либо четко определенные условия, в которых игра с бесконечным выбором стратегии будет иметь равновесие по Нэшу?

2. Каким будет релевантное чтение для этого?

Да, такая настройка есть. Результатом является то, что

Если пространство стратегии каждого игрока

• выпуклый

• компактный

и если выплаты являются непрерывными, то существует по крайней мере одно равновесие Нэша (возможно, в смешанных стратегиях).

Это верно даже тогда, когда множество возможных действий неисчислимо бесконечно. Если дополнительно предположить, что выигрыши являются квазивогнутыми, то соответствие с наилучшими ответами будет выпуклым, даже если мы ограничим внимание чистыми стратегиями, чтобы в такой игре мы гарантировали, что в чистых стратегиях будет хотя бы одно равновесие.

Я считаю, что оригинальная ссылка здесь

• И.Л. Гликсберг. « Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с применением к точкам равновесия по Нэшу ». Труды Американского математического общества , 3 (1): 170–174, 1952.

Обработка в статье Гликсберга, однако, кажется не очень доступной. Хорошей отправной точкой, скорее всего, будет раздел 1.3 книги Фуденберга и Тироля "Теория игр" .

В то время как компактность и выпуклость все еще необходимы, следующая ссылка касается существования в играх векторного пространства с определенными типами разрывов.

• Рени, П. (1999) "О существовании чистых и смешанных стратегий равновесия Нэша в прерывных играх", Econometrica 67, 1029-1056