Когда получатель должен рандомизировать действия в игре с сигнализацией?

10

Предположим , что существует сигнализации игра с конечным пространства сообщений M , конечное действие пространства A и конечного типа пространства T . Еще проще, все типы отправителей имеют одинаковые предпочтения (получатель просто предпочитает разные действия в ответ на разные типы). Может ли получатель когда-либо делать строго лучше, рандомизируя ответы? Когда существует равновесие, когда приемник совершает только чистые действия?

Вездесущий вкратце подытожил мой вопрос: «Всегда ли случается, что равновесие с самыми высокими выигрышами для получателей обязательно включает в себя смешанные стратегии?»

Пойдем с последовательным равновесием. Если вы хотите начать с некоторых обозначений.

σt(m) есть вероятностьчтоtT посылаетmM .

σRm(a) есть вероятностьчто приемник реагирует наm сaA. μmΔT дает убеждения получателя после наблюденияm .

Последовательное равновесие требует, чтобы σt давали оптимальные отклики при заданном σR , σR оптимально при заданном μ а μ - байесовский при заданном σ . Это действительно определение слабого последовательного, но в игре сигнализации нет никаких различий.

Моя интуиция говорит «нет», когда существует равновесие, когда приемник играет только чистые действия, но я всегда был ужасен с такими вещами. Может быть, мы также должны оговорить, что это не игра с нулевой суммой, но я говорю только об этом, потому что я помню, что игроки были лучше с возможностью рандомизации в этих играх. Возможно, это где-то сноска в газете?

Рассмотрим игру ниже, где предпочтения отправителя не идентичны. Я прошу прощения за низкое качество. Существует три типа отправителей, каждый из которых одинаково вероятен. Мы можем создать то, что, как я считаю, является оптимальным равновесием для получателя (игрока 2), только если они рандомизируются при получении сообщения 1. Тогда типы 1 и 3 будут играть , создавая разделяющее равновесие. Если приемник использует чистую стратегию в ответ на m 1 , тогда тип 1 или 2 будет отклоняться и ухудшать состояние приемника.m2m1

σRm1(a)=.5=σRm1(r)=.5

введите описание изображения здесь

Pburg
источник
Влияют ли действия, выполняемые получателем как функция типа, на сообщение, отправленное отправителем, или они независимы?
Мартин Ван дер Линден,
Я не совсем уверен, что вы имеете в виду. Есть один тип приемника. Их стратегия отображает сообщения в распределение по действиям. Они влияют на сообщение только в том случае, если отправители играют лучший ответ.
Пбург
2
Предположим, что существует равновесие, при котором приемник рандомизирует множество действий . Это означает, что по определению он должен быть безразличным к любым двум вероятностным распределениям по α - включая те, в которых весь вес накладывается на одно действие (чистые стратегии). Так что нет, смешанная стратегия никогда не может быть строго лучше, чем лучшая чистая стратегия. Или я неправильно понял вопрос? αα
Вездесущий
@ Вездесущий Это имеет смысл для меня, но мне было интересно, могут ли быть какие-то странные патологические случаи. Например, я мог найти только теорему: «Для общего выбора выплат в игре с конечной экстенсивной формой с идеальным отзывом выплаты постоянны для каждого связанного компонента последовательных равновесий». Общее предостережение заставило меня задуматься.
Пбург
1
@Pburg Да, я вижу. Кажется, мы имели в виду разные вопросы. Я подумал: «Это когда-либо так, что единственный лучший ответ получателя на данную стратегию отправителя является смешанной стратегией?», Тогда как, кажется, ваш вопрос на самом деле «всегда ли это случай, когда равновесие с самыми высокими выплатами получателя обязательно включает смешанные стратегии?
Вездесущий

Ответы:

3

Возможно, у меня есть контрпример!

m1,m2,m3t1,t2,t3Pr(t=t3)=12ϵPr(t=t2)=14Pr(t=t1)=14+ϵm30

Набор ответов получателя на сообщение равенm=m1,m2{a,r}

ut(a,m1)=1>ut(a,m2)=β>ut(r,)=0

uR(t1,m1,a)=uR(t2,m2,a)=2 , ,uR(t3,mi,a)=1

uR(t2,m1,a)=uR(t2,m1,a)=0 , ,uR(t3,mi,r)=2

uR(t1,mi,r)=uR(t2,mi,r)=1 .

Тогда в равновесии все отправители должны получить одинаковую полезность, правильно? В противном случае один будет подражать стратегии другого.

Таким образом, единственное чисто стратегическое равновесие для всех отправителей - это выбрать . В пуле равновесия на или лучшим ответом является выбор . Не существует чистой стратегии, разделяющей равновесие, за исключением случаев, когда и отправляют , а получатель отвечает . Тогда безразличен между всеми сообщениями, потому что он наверняка встретит выплату . Все это дает выигрыш получателюm3m1m2rt1t2m2rt3032ϵ

Затем рассмотрим случай, когда иТеперь отправители безразличны к отправке этих двух сообщений. Затем пусть и для . Тогда стратегия приемника рациональна.σRm1(a)=βσRm2(a)=1.σтя(тя)=1я=1,2σt3(m1)=ϵ+1/4ϵ+1/2=1σt3(m1)σti(mi)=1i=1,2

Ожидаемая полезность получателя от учетом или составляет 1,5. Ожидаемая полезность от чуть выше 1,5, учитывая . Таким образом, ожидаемая ожидаемая прибыль выше , лучше, чем чистое равновесие, описанное выше. Кроме того, это разделение поддерживается только путем смешивания. Любая другая чистая стратегия, принятая получателем, будет вызывать объединение отправителей, а это означает, что единственное чисто стратегическое равновесие - это когда получатель выбирает . a r m 2 a 3m1arm2ar32ϵr

Я должен иметь s на картинке ниже для выплат левой стороне отправителю . Я думаю, что является ключевым ингредиентом.a β < 1βaβ<1

введите описание изображения здесь

Pburg
источник
3

Я думаю , что это не может произойти с склонными к риску отправителей, риск нейтрального приемника и достаточно богатым.A

Например, и чтобы придерживаться модели канонической сигнализации, предположим, что - это положительная действительная линия, и полезность отправителей увеличивается, в время как у получателей линейная полезность уменьшается в .у а аAuaa

(Следует признать, что это только частичный ответ, так как структура гораздо менее общая, чем в вашем вопросе, поэтому она может быть неудовлетворительной для вас. Я все же приведу аргумент, если вы согласны с этими предположениями)

Чтобы получить противоречие, предположим , что при равновесном и для некоторого . ПозволятьσRm(a)>0σRm(a)>0aaA

aσRm(a)σRm(a)+σRm(a)a+σRm(a)σRm(a)+σRm(a)a.

Отвращением к риску

u[a]>σRm(a)σRm(a)+σRm(a)u(a)+σRm(a)σRm(a)+σRm(a)u(a).
[σRm(a)+σRm(a)]u(a)>σRm(a)u(a)+σRm(a)u(a).

При некотором допущении преемственности также должно существовать

a<a

такой, что

[σRm(a)+σRm(a)]u(a)=σRm(a)u(a)+σRm(a)u(a).

Итак, рассмотрим построенный следующим образомσRm

  • σRm(a)=σRm(a)=0 ,
  • σRm(a)=σRm(a)+[σRm(a)+σRm(a)]
  • Для всех остальных ,a~σRm(a~)=σRm(a~)

Получатели предпочли бы чем если это не изменило сигналы, отправленные отправителями, потому что это предполагает более низкие ожидаемые компенсации. Но по построению отправители безразличны между и , поэтому они должны отправлять те же сигналы, что и в . Таким образом, не может быть равновесием, которое показывает, что у нас не может быть двух разных действий, сыгранных с положительной вероятностью в равновесии.σRmσRm σRmσRmσRmσRm

Мартин Ван дер Линден
источник
В этой модели получатель не всегда просто выбирает ? a=0
Пбург
Я не обязательно это так. Если приемник всегда выбирает не имеет значения сигнала, она не типа «Стимулирование введения высоких» , чтобы выявить их тип корыта «высшего» сигнала. Это может быть оптимальным в равновесии объединения, но не в разделительном равновесии. См., Например, раздел 13.C Mas-Colell, Whinston и Green, хотя установка снова немного отличается от вашей (например, есть две фирмы, конкурирующие за работников разных типов)a
Martin Van der Linden
Что значит «получатель имеет линейную полезность, уменьшающуюся в»?
Пбург
Извините, это было не очень понятно. В модели сигнализации Спенс, которую я имею в виду, действие, которое принимает получатель, заключается в выплате заработной платы w отправителю. Полезность получателя зависит от типа отправителя t минус заработная плата t − w. По сути, получатель нейтрален к риску: она заботится только об ожидаемой заработной плате, которую она должна будет заплатить, и об ожидаемом типе, который она будет использовать.
Мартин Ван дер Линден,
Хорошо, я полагаю, я видел это как квадратичную потерю,Спасибо за предложение, хотя я ищу что-то более общее, но с дискретными действиями. (tw)2.
Пбург