Когда получатель должен рандомизировать действия в игре с сигнализацией?

Предположим , что существует сигнализации игра с конечным пространства сообщений $M$ , конечное действие пространства $A$ и конечного типа пространства $T$ . Еще проще, все типы отправителей имеют одинаковые предпочтения (получатель просто предпочитает разные действия в ответ на разные типы). Может ли получатель когда-либо делать строго лучше, рандомизируя ответы? Когда существует равновесие, когда приемник совершает только чистые действия?

Вездесущий вкратце подытожил мой вопрос: «Всегда ли случается, что равновесие с самыми высокими выигрышами для получателей обязательно включает в себя смешанные стратегии?»

Пойдем с последовательным равновесием. Если вы хотите начать с некоторых обозначений.

$\sigma_{t}(m)$ есть вероятностьчто$t\in T$ посылает$m\in M$ .

$\sigma_R^m(a)$ есть вероятностьчто приемник реагирует на$m$ с$a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$ дает убеждения получателя после наблюдения$m$ .

Последовательное равновесие требует, чтобы $\sigma_t$ давали оптимальные отклики при заданном $\sigma_R$ , $\sigma_R$ оптимально при заданном $\mu$ а $\mu$ - байесовский при заданном $\sigma$ . Это действительно определение слабого последовательного, но в игре сигнализации нет никаких различий.

Моя интуиция говорит «нет», когда существует равновесие, когда приемник играет только чистые действия, но я всегда был ужасен с такими вещами. Может быть, мы также должны оговорить, что это не игра с нулевой суммой, но я говорю только об этом, потому что я помню, что игроки были лучше с возможностью рандомизации в этих играх. Возможно, это где-то сноска в газете?

Рассмотрим игру ниже, где предпочтения отправителя не идентичны. Я прошу прощения за низкое качество. Существует три типа отправителей, каждый из которых одинаково вероятен. Мы можем создать то, что, как я считаю, является оптимальным равновесием для получателя (игрока 2), только если они рандомизируются при получении сообщения 1. Тогда типы 1 и 3 будут играть , создавая разделяющее равновесие. Если приемник использует чистую стратегию в ответ на m 1 , тогда тип 1 или 2 будет отклоняться и ухудшать состояние приемника.$m_2$$m_1$

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

Возможно, у меня есть контрпример!

$m_1, m_2,$$m_3$$t_1,t_2,t_3$$\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$$\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$$\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$$m_3$$0$

Набор ответов получателя на сообщение равен$m=m_1,m_2$$\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

$u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$ , ,$u_R(t_3,m_i,a)=1$

$u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$ , ,$u_R(t_3,m_i,r)=2$

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$ .

Тогда в равновесии все отправители должны получить одинаковую полезность, правильно? В противном случае один будет подражать стратегии другого.

Таким образом, единственное чисто стратегическое равновесие для всех отправителей - это выбрать . В пуле равновесия на или лучшим ответом является выбор . Не существует чистой стратегии, разделяющей равновесие, за исключением случаев, когда и отправляют , а получатель отвечает . Тогда безразличен между всеми сообщениями, потому что он наверняка встретит выплату . Все это дает выигрыш получателю$m_3$$m_1$$m_2$$r$$t_1$$t_2$$m_2$$r$$t_3$$0$$\frac{3}{2}-\epsilon$

Затем рассмотрим случай, когда иТеперь отправители безразличны к отправке этих двух сообщений. Затем пусть и для . Тогда стратегия приемника рациональна.$\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$$\sigma_R^{m_2}(a)=1.$σтя(тя)=1я=1,$\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$$\sigma_{t_i}(m_i)=1$$i=1,2$

Ожидаемая полезность получателя от учетом или составляет 1,5. Ожидаемая полезность от чуть выше 1,5, учитывая . Таким образом, ожидаемая ожидаемая прибыль выше , лучше, чем чистое равновесие, описанное выше. Кроме того, это разделение поддерживается только путем смешивания. Любая другая чистая стратегия, принятая получателем, будет вызывать объединение отправителей, а это означает, что единственное чисто стратегическое равновесие - это когда получатель выбирает . a r m 2 a $m_1$$a$$r$$m_2$$a$$\frac{3}{2}-\epsilon$$r$

Я должен иметь s на картинке ниже для выплат левой стороне отправителю . Я думаю, что является ключевым ингредиентом.a β < $\beta$$a$$\beta<1$

Я думаю , что это не может произойти с склонными к риску отправителей, риск нейтрального приемника и достаточно богатым.$A$

Например, и чтобы придерживаться модели канонической сигнализации, предположим, что - это положительная действительная линия, и полезность отправителей увеличивается, в время как у получателей линейная полезность уменьшается в .у а $A$$u$$a$$a$

(Следует признать, что это только частичный ответ, так как структура гораздо менее общая, чем в вашем вопросе, поэтому она может быть неудовлетворительной для вас. Я все же приведу аргумент, если вы согласны с этими предположениями)

Чтобы получить противоречие, предположим , что при равновесном и для некоторого . Позволять$\sigma^m_R(a') > 0$$\sigma^m_R(a'') > 0$$a' \neq a'' \in A$

$$a''' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a' + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a''.$$

Отвращением к риску

$$u[ a''' ] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a'').$$ $$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a''' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$$

При некотором допущении преемственности также должно существовать

$$a '''' < a'''$$

такой, что

$$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a'''' ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$$

Итак, рассмотрим построенный следующим образом$\sigma^m_R{'}$

• $\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a'') = 0$ ,
• $\sigma^m_R{'}(a'''') = \sigma^m_R(a'''') + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')]$
• Для всех остальных ,$\tilde{a}$$\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

Получатели предпочли бы чем если это не изменило сигналы, отправленные отправителями, потому что это предполагает более низкие ожидаемые компенсации. Но по построению отправители безразличны между и , поэтому они должны отправлять те же сигналы, что и в . Таким образом, не может быть равновесием, которое показывает, что у нас не может быть двух разных действий, сыгранных с положительной вероятностью в равновесии.$\sigma^m_R{'}$$\sigma^m_R$ $\sigma^m_R{'}$$\sigma^m_R$$\sigma^m_R$$\sigma^m_R$